5.1. Найти модуль вектора \(\vec{AC}\)
1. Найдём координаты вектора \(\vec{AC}\):
\[ \vec{AC} = C - A = (3, 3, 1) - (7, 2, 4) = (3 - 7, 3 - 2, 1 - 4) = (-4, 1, -3) \]
2. Найдём модуль вектора \(\vec{AC}\) по формуле:
\[ |\vec{AC}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \] Подставим координаты вектора:
\[ |\vec{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + (1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 1 + 9} = \sqrt{26} \]
Ответ:
\( |\vec{AC}| = \sqrt{26} \).
5.2. Найти скалярное произведение векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{DA}\)
1. Найдём координаты вектора \(\vec{AB}\):
\[ \vec{AB} = B - A = (7, -1, -2) - (7, 2, 4) = (0, -3, -6) \]
2. Найдём координаты вектора \(\vec{DA}\):
\[ \vec{DA} = A - D = (7, 2, 4) - (-4, 2, 1) = (7 + 4, 2 - 2, 4 - 1) = (11, 0, 3) \]
3. Найдём скалярное произведение \(\vec{AB} \cdot \vec{DA}\) по формуле:
\[ \vec{AB} \cdot \vec{DA} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2 \] Где
\(x_1, y_1, z_1\) — это координаты
\(\vec{AB}\), а
\(x_2, y_2, z_2\) — это координаты
\(\vec{DA}\). Подставим:
\[ \vec{AB} \cdot \vec{DA} = 0 \cdot 11 + (-3) \cdot 0 + (-6) \cdot 3 = 0 + 0 + (-18) = -18 \]
Ответ: скалярное произведение равно
\(-18\).
5.3. Проверить ортогональность векторов \(\vec{BC}\) и \(\vec{AD}\). Если они не ортогональны, проверить их коллинеарность.
Векторы будут ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю.
1. Найдём координаты вектора \(\vec{BC}\):
\[ \vec{BC} = C - B = (3, 3, 1) - (7, -1, -2) = (-4, 4, 3) \]
2. Найдём координаты вектора \(\vec{AD}\):
\[ \vec{AD} = D - A = (-4, 2, 1) - (7, 2, 4) = (-11, 0, -3) \]
3. Найдём скалярное произведение \(\vec{BC} \cdot \vec{AD}\):
\[ \vec{BC} \cdot \vec{AD} = (-4) \cdot (-11) + 4 \cdot 0 + 3 \cdot (-3) = 44 + 0 - 9 = 35 \]
Так как скалярное произведение не равно нулю (
\(35 \neq 0\)), векторы
\(\vec{BC}\) и
\(\vec{AD}\) не ортогональны. Теперь проверим их
коллинеарность. Векторы коллинеарны, если каждый их компонент пропорционален, то есть
\(\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2}\). Сравним пропорции:
\[ \frac{-4}{-11} \neq \frac{4}{0} \ (\text{на этом этапе видно, что они не пропорциональны, и значит, не коллинеарны}) \]
Ответ: векторы
\(\vec{BC}\) и
\(\vec{AD}\) не ортогональны и не коллинеарны.
5.4. Найти угол между векторами \(\vec{EF}\) и \(\vec{EG}\)
1. Найдём координаты вектора \(\vec{EF}\):
\[ \vec{EF} = F - E = (5, 5, -2) - (3, 3, -1) = (2, 2, -1) \]
2. Найдём координаты вектора \(\vec{EG}\):
\[ \vec{EG} = G - E = (4, 1, 1) - (3, 3, -1) = (1, -2, 2) \]
3. Найдём скалярное произведение \(\vec{EF} \cdot \vec{EG}\):
\[ \vec{EF} \cdot \vec{EG} = 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) + (-1) \cdot 2 = 2 - 4 - 2 = -4 \]
4. Найдём модули векторов \(\vec{EF}\) и \(\vec{EG}\):
\[ |\vec{EF}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \]
\[ |\vec{EG}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \]
5. Найдём косинус угла между векторами по формуле:
\[ \cos \theta = \frac{\vec{EF} \cdot \vec{EG}}{|\vec{EF}| \cdot |\vec{EG}|} = \frac{-4}{3 \cdot 3} = \frac{-4}{9} \]
6. Найдём угол \(\theta\):
\[ \theta = \arccos \left( \frac{-4}{9} \right) \] Приблизительно:
\[ \theta \approx 116.57^\circ \]
Ответ: угол между векторами
\(\vec{EF}\) и
\(\vec{EG}\) приблизительно равен
\(116.57^\circ\).
Обобщённые результаты:
- 5.1: Модуль вектора \(\vec{AC} = \sqrt{26}\).
- 5.2: Скалярное произведение векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{DA} = -18\).
- 5.3: Векторы \(\vec{BC}\) и \(\vec{AD}\) не ортогональны и не коллинеарны.
- 5.4: Угол между векторами \(\vec{EF}\) и \(\vec{EG}\) приблизительно равен \(116.57^\circ\).
Это задание относится к предмету аналитическая геометрия. В данном случае у нас несколько вопросов, касающихся векторов, их модулей, скалярных произведений, ортогональности и углов между ними.