Найти векторы AB и AC, а также их длины. Найти направляющие косинусы вектора

Предмет: Математика (раздел аналитическая геометрия, тема: векторы в пространстве).

Задача:

1. Найти векторы AB и AC, а также их длины.
2. Найти направляющие косинусы вектора AB.

Шаг 1: Найдем векторы AB и AC

Вектор AB

Координаты точек:

• \( A(2, 2, 7) \)
• \( B(0, 0, 6) \)

Вектор AB вычисляется по формуле:

\[ \vec{AB} = B - A = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) \]

Подставляем координаты:

\[ \vec{AB} = (0 - 2, 0 - 2, 6 - 7) = (-2, -2, -1) \]

Вектор AC

Координаты точек:

• \( A(2, 2, 7) \)
• \( C(-2, 5, 7) \)

Вектор AC вычисляется аналогично:

\[ \vec{AC} = C - A = (x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A) \]

Подставляем координаты:

\[ \vec{AC} = (-2 - 2, 5 - 2, 7 - 7) = (-4, 3, 0) \]

Шаг 2: Найдем длины векторов AB и AC

Длина вектора (или модуль вектора) \( \vec{AB} \) обозначается как \( |\vec{AB}| \) и вычисляется по формуле:

\[ |\vec{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]

Длина вектора AB:

\[ |\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \]

Длина вектора AC:

\[ |\vec{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 9 + 0} = \sqrt{25} = 5 \]

Шаг 3: Найдем направляющие косинусы для вектора AB

Направляющие косинусы вектора \( \vec{AB} \) — это косинусы углов между вектором и осями координат (x, y, z). Они вычисляются по формуле:

\[ \cos \alpha = \frac{x}{|\vec{v}|}, \quad \cos \beta = \frac{y}{|\vec{v}|}, \quad \cos \gamma = \frac{z}{|\vec{v}|} \]

где \( \alpha, \beta, \gamma \) — углы между вектором и осями координат, а \( x, y, z \) — координаты вектора.

• \(\cos \alpha = \frac{-2}{3}\)
• \(\cos \beta = \frac{-2}{3}\)
• \(\cos \gamma = \frac{-1}{3}\)

Итог:

1. Векторы:
   • \(\vec{AB} = (-2, -2, -1)\)
   • \(\vec{AC} = (-4, 3, 0)\)
2. Длины:
   • |\vec{AB}| = 3
   • |\vec{AC}| = 5
3. Направляющие косинусы вектора AB:
   • \(\cos \alpha = \frac{-2}{3}\)
   • \(\cos \beta = \frac{-2}{3}\)
   • \(\cos \gamma = \frac{-1}{3}\)

Для вектора \( \vec{AB} = (-2, -2, -1) \), длина которого равна 3, направляющие косинусы: