Определение предмета: Это задание по аналитической геометрии.
Необходимые действия: Нам необходимо найти векторное произведение векторов AB и CA, после чего в ответе указать сумму координат полученного вектора.
Шаг 1: Найдем координаты векторов AB и CA:
- Вектор AB определяется как разность координат точки B и точки A: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (3-1; 2-2; -1-0) = (2; 0; -1) \]
- Вектор CA определяется как разность координат точки A и точки C: \[ \overrightarrow{CA} = A - C = (1-1; 2-4; 0-2) = (0; -2; -2) \]
Шаг 2: Найдем векторное произведение векторов AB и CA:
Вычисление векторного произведения делается по формуле: \[ \overrightarrow{N} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{CA} \]
Для векторов \(\overrightarrow{AB} = (2; 0; -1)\) и \(\overrightarrow{CA} = (0; -2; -2)\), воспользуемся определителем, где строки — это единичные векторы \(i\), \(j\), \(k\), а также координаты векторов:
\[
\overrightarrow{N} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & -2 \\ \end{vmatrix}
\]
Рассчитаем определитель: \[
\overrightarrow{N} = i \cdot \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ -2 & -2 \end{vmatrix} - j \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} + k \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix}
\]
Вычисляем каждый из определителей:
- Для компоненты \(i\): \[
\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ -2 & -2 \end{vmatrix} = 0 \cdot (-2) - (-2) \cdot (-1) = 0 - 2 = -2
\]
- Для компоненты \(j\): \[
\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-2) - 0 \cdot (-1) = -4
\]
- Для компоненты \(k\): \[
\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-2) - 0 \cdot 0 = -4
\]
Шаг 3: Собираем полученные значения:
\[ \overrightarrow{N} = (-2; 4; -4) \]
Шаг 4: Найдем сумму координат вектора \( \overrightarrow{N} \):
Ответ: Сумма координат вектора \( \overrightarrow{N} \) равна -2.