Найти вектор, который перпендикулярен вектору, имеет проекцию на вектор равную единице

Определение предмета:

Данный пример относится к векторной алгебре, входящей в курс аналитической геометрии, раздела математики.

Условие задачи:

1. Требуется найти вектор \( \vec{X} \), который:
   • перпендикулярен вектору \( \vec{a} = \vec{i} + \vec{k} \) и вектору \( \vec{b} = 2\vec{j} - \vec{k} \),
   • имеет проекцию на вектор \( \vec{c} = \vec{i} + 2\vec{j} + 2\vec{k} \), равную единице.

Решение:

1. Условие перпендикулярности:

Вектор \( \vec{X} \) перпендикулярен \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \). Это означает:

\[ \vec{X} \cdot \vec{a} = 0 \quad \text{и} \quad \vec{X} \cdot \vec{b} = 0, \]

где \( \cdot \) — скалярное произведение. Обозначим \( \vec{X} = x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k} \). Тогда подставляем:

1) Условие \( \vec{X} \cdot \vec{a} = 0 \):

\[ (x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}) \cdot (\vec{i} + \vec{k}) = 0. \]

Раскрывая скалярное произведение:

\[ x_1 \cdot 1 + x_2 \cdot 0 + x_3 \cdot 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 + x_3 = 0. \]

(1-е уравнение: \( x_1 + x_3 = 0 \)).

2) Условие \( \vec{X} \cdot \vec{b} = 0 \):

\[ (x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}) \cdot (2\vec{j} - \vec{k}) = 0. \]

Раскрывая скалярное произведение:

\[ x_1 \cdot 0 + x_2 \cdot 2 + x_3 \cdot (-1) = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x_2 - x_3 = 0. \]

(2-е уравнение: \( 2x_2 - x_3 = 0 \)).

2. Условие проекции:

Проекция \( \vec{X} \) на \( \vec{c} = \vec{i} + 2\vec{j} + 2\vec{k} \) равна единице:

\[ \mathrm{proj}_{\vec{c}} \vec{X} = \frac{\vec{X} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|} \cdot \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|} = 1. \]

Это значит, что скалярное произведение \( \vec{X} \cdot \vec{c} \) равно \( |\vec{c}| \) (длине \( \vec{c} \), так как \( |\vec{c}| \cdot 1 = |\vec{c}| \)):

\[ \vec{X} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|. \]

Вычислим \( |\vec{c}| \):

\[ \vec{c} = \vec{i} + 2\vec{j} + 2\vec{k} \quad \Rightarrow \quad |\vec{c}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3. \]

Тогда условие:

\[ \vec{X} \cdot \vec{c} = 3. \]

Раскроем это:

\[ (x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}) \cdot (\vec{i} + 2\vec{j} + 2\vec{k}) = 3. \]

Раскрытие скалярного произведения:

\[ x_1 \cdot 1 + x_2 \cdot 2 + x_3 \cdot 2 = 3 \quad \Rightarrow \quad x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 3. \]

(3-е уравнение: \( x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 3 \)).

3. Система уравнений:

Имеем систему:

• \( x_1 + x_3 = 0, \)
• \( 2x_2 - x_3 = 0, \)
• \( x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 3. \)

Решим систему.

1) Из первого уравнения: \( x_3 = -x_1. \)

2) Подставляем \( x_3 = -x_1 \) во 2-е уравнение:

\[ 2x_2 - (-x_1) = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x_2 + x_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = -2x_2. \]

3) Подставляем \( x_1 = -2x_2 \) и \( x_3 = -x_1 = 2x_2 \) в 3-е уравнение:

\[ (-2x_2) + 2x_2 + 2(2x_2) = 3. \]

Упрощаем:

\[ -2x_2 + 2x_2 + 4x_2 = 3 \quad \Rightarrow \quad 4x_2 = 3 \quad \Rightarrow \quad x_2 = \frac{3}{4}. \]

4) Найдем \( x_1 \) и \( x_3 \):

\[ x_1 = -2x_2 = -2 \cdot \frac{3}{4} = -\frac{3}{2}, \]

\[ x_3 = 2x_2 = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2}. \]

4. Ответ:

\[ \vec{X} = x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k} = -\frac{3}{2}\vec{i} + \frac{3}{4}\vec{j} + \frac{3}{2}\vec{k}. \]

Вектор \( \vec{X} \) имеет вид: