Найти: в) координаты точки пересечения высот; г) длину высоты, опущенной из вершины А; д) площадь треугольника АВС

Предмет: Геометрия
Раздел: Аналитическая геометрия на координатной плоскости

Рассмотрим треугольник с вершинами:
A(4, 6), B(3, -5), C(-3, 5)

в) Координаты точки пересечения высот (ортроцентр)

Точка пересечения высот треугольника называется ортроцентром. Чтобы найти её, нужно найти уравнения двух высот и решить их систему.

Шаг 1. Найдём уравнение высоты из вершины A к стороне BC.

Найдём угловой коэффициент прямой BC:

 k_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{5 - (-5)}{-3 - 3} = \frac{10}{-6} = -\frac{5}{3} 

Высота из точки A перпендикулярна BC, значит её угловой коэффициент — обратный и противоположный:

 k_{h_A} = \frac{3}{5} 

Используем точку A(4, 6) и угловой коэффициент, чтобы найти уравнение высоты:

 y - 6 = \frac{3}{5}(x - 4) 

Упростим:

 y = \frac{3}{5}x + \left(6 - \frac{12}{5}\right) = \frac{3}{5}x + \frac{18}{5} 

Уравнение высоты из точки A:

 y = \frac{3}{5}x + \frac{18}{5} 

Шаг 2. Найдём уравнение высоты из вершины C к стороне AB.

Найдём угловой коэффициент прямой AB:

 k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-5 - 6}{3 - 4} = \frac{-11}{-1} = 11 

Высота из точки C перпендикулярна AB, значит её угловой коэффициент:

 k_{h_C} = -\frac{1}{11} 

Используем точку C(-3, 5):

 y - 5 = -\frac{1}{11}(x + 3) 

Упростим:

 y = -\frac{1}{11}x - \frac{3}{11} + 5 = -\frac{1}{11}x + \frac{52}{11} 

Уравнение высоты из точки C:

 y = -\frac{1}{11}x + \frac{52}{11} 

Шаг 3. Найдём точку пересечения двух высот — решим систему:

 \begin{cases} y = \frac{3}{5}x + \frac{18}{5} \ y = -\frac{1}{11}x + \frac{52}{11} \end{cases} 

Приравниваем правые части:

 \frac{3}{5}x + \frac{18}{5} = -\frac{1}{11}x + \frac{52}{11} 

Домножим обе части на 55 (наименьшее общее кратное 5 и 11):

 33x + 198 = -5x + 260 

 38x = 62 \Rightarrow x = \frac{62}{38} = \frac{31}{19} 

Подставим в любое уравнение, например:

 y = \frac{3}{5} \cdot \frac{31}{19} + \frac{18}{5} = \frac{93}{95} + \frac{342}{95} = \frac{435}{95} = \frac{87}{19} 

Ответ (в):
Координаты точки пересечения высот:
\left[\left(\frac{31}{19}, \frac{87}{19}\right)\right]

г) Длина высоты, опущенной из вершины A на сторону BC

Найдем расстояние от точки A(4, 6) до прямой BC.

Сначала найдём уравнение прямой BC. Используем координаты B(3, -5) и C(-3, 5).

Найдем уравнение прямой в виде общего уравнения:

Сначала найдём коэффициенты:

 k_{BC} = -\frac{5}{3} 

Уравнение прямой через точку B(3, -5):

 y + 5 = -\frac{5}{3}(x - 3) 

Упростим:

 y = -\frac{5}{3}x + 5 - 5 = -\frac{5}{3}x 

Приведем к общему виду:

 5x + 3y = 0 

Теперь используем формулу расстояния от точки до прямой:

 h = \frac{|5 \cdot 4 + 3 \cdot 6|}{\sqrt{5^2 + 3^2}} = \frac{|20 + 18|}{\sqrt{25 + 9}} = \frac{38}{\sqrt{34}} = \frac{38\sqrt{34}}{34} = \frac{19\sqrt{34}}{17} 

Ответ (г):
Длина высоты из вершины A:
\left[\frac{19\sqrt{34}}{17}\right]

д) Площадь треугольника ABC

Используем формулу площади по координатам:

 S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| 

Подставим координаты:

 S = \frac{1}{2} \left| 4(-5 - 5) + 3(5 - 6) + (-3)(6 + 5) \right| = \frac{1}{2} \left| 4(-10) + 3(-1) + (-3)(11) \right| 

 = \frac{1}{2} \left| -40 -3 -33 \right| = \frac{1}{2} \cdot 76 = 38 

Ответ (д):
Площадь треугольника: [38]

е) Система неравенств, задающих внутренность треугольника ABC

Сначала найдём уравнения сторон AB, BC, AC в виде:
Ax + By + C = 0
Затем определим, с какой стороны от прямой находится внутренняя часть треугольника.

Сторона AB:

Через A(4,6), B(3,-5):

 k = \frac{-5 - 6}{3 - 4} = \frac{-11}{-1} = 11 

Уравнение:
 y - 6 = 11(x - 4) \Rightarrow y = 11x - 38 

Приведем к общему виду:

 11x - y - 38 = 0 

Сторона BC:

Через B(3,-5), C(-3,5):

 k = \frac{10}{-6} = -\frac{5}{3} 

Уравнение:
 y + 5 = -\frac{5}{3}(x - 3) \Rightarrow y = -\frac{5}{3}x + 0 

Общий вид:

 5x + 3y = 0 

Сторона AC:

Через A(4,6), C(-3,5):

 k = \frac{5 - 6}{-3 - 4} = \frac{-1}{-7} = \frac{1}{7} 

Уравнение:
 y - 6 = \frac{1}{7}(x - 4) \Rightarrow y = \frac{1}{7}x + \frac{38}{7} 

Приведем к общему виду:

 x - 7y + 38 = 0 

Теперь определим знаки неравенств. Подставим любую точку внутри треугольника, например центр тяжести (среднее арифметическое координат):

 G = \left( \frac{4 + 3 + (-3)}{3}, \frac{6 + (-5) + 5}{3} \right) = \left( \frac{4}{3}, \frac{6}{3} \right) = \left( \frac{4}{3}, 2 \right) 

Подставим в каждое уравнение:

1. В 11x - y - 38:

11 \cdot \frac{4}{3} - 2 - 38 = \frac{44}{3} - 40 = -\frac{76}{3} < 0
→ неравенство: 11x - y - 38 < 0

2. В 5x + 3y:

5 \cdot \frac{4}{3} + 3 \cdot 2 = \frac{20}{3} + 6 = \frac{38}{3} > 0
→ неравенство: 5x + 3y > 0

3. В x - 7y + 38:

\frac{4}{3} - 14 + 38 = \frac{4}{3} + 24 = \frac{76}{3} > 0
→ неравенство: x - 7y + 38 > 0

Ответ (е):
Система неравенств, задающих внутренность треугольника ABC:

 \begin{cases} 11x - y - 38 < 0 \ 5x + 3y > 0 \ x - 7y + 38 > 0 \end{cases}