Найти уравнения всех трех сторон треугольника

Предмет: Геометрия

Раздел: Аналитическая геометрия

Даны вершины треугольника ( A(1;1) ), ( B(7;4) ), ( C(4;5) ). Требуется выполнить следующие задания:

а) Уравнения всех трех сторон треугольника

Уравнение прямой через две точки можно найти по формуле:
\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}.

1. Уравнение стороны ( AB ):

Подставляем координаты ( A(1;1) ) и ( B(7;4) ):
\frac{y - 1}{4 - 1} = \frac{x - 1}{7 - 1}.
Упрощаем:
y - 1 = \frac{3}{6}(x - 1),
y - 1 = \frac{1}{2}(x - 1),
y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}.

Уравнение стороны ( AB ):
y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}.

2. Уравнение стороны ( BC ):

Подставляем координаты ( B(7;4) ) и ( C(4;5) ):
\frac{y - 4}{5 - 4} = \frac{x - 7}{4 - 7}.
Упрощаем:
y - 4 = -\frac{1}{3}(x - 7),
y - 4 = -\frac{1}{3}x + \frac{7}{3},
y = -\frac{1}{3}x + \frac{19}{3}.

Уравнение стороны ( BC ):
y = -\frac{1}{3}x + \frac{19}{3}.

3. Уравнение стороны ( AC ):

Подставляем координаты ( A(1;1) ) и ( C(4;5) ):
\frac{y - 1}{5 - 1} = \frac{x - 1}{4 - 1}.
Упрощаем:
y - 1 = \frac{4}{3}(x - 1),
y - 1 = \frac{4}{3}x - \frac{4}{3},
y = \frac{4}{3}x - \frac{1}{3}.

Уравнение стороны ( AC ):
y = \frac{4}{3}x - \frac{1}{3}.

б) Система неравенств

Составим систему неравенств, определяющую множество точек, принадлежащих треугольнику. Для этого определим, с какой стороны от каждой прямой лежат вершины треугольника.

1. Прямая ( AB ):

Подставляем координаты точки ( C(4;5) ) в уравнение ( y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} ):
5 \stackrel{?}{>} \frac{1}{2} \cdot 4 + \frac{1}{2},
5 > 2.5.

Точка ( C ) лежит выше прямой ( AB ). Поэтому неравенство:
y \geq \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}.

2. Прямая ( BC ):

Подставляем координаты точки ( A(1;1) ) в уравнение ( y = -\frac{1}{3}x + \frac{19}{3} ):
1 \stackrel{?}{<} -\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{19}{3},
1 < 6.

Точка ( A ) лежит ниже прямой ( BC ). Поэтому неравенство:
y \leq -\frac{1}{3}x + \frac{19}{3}.

3. Прямая ( AC ):

Подставляем координаты точки ( B(7;4) ) в уравнение ( y = \frac{4}{3}x - \frac{1}{3} ):
4 \stackrel{?}{<} \frac{4}{3} \cdot 7 - \frac{1}{3},
4 < 9\frac{1}{3}.

Точка ( B ) лежит ниже прямой ( AC ). Поэтому неравенство:
y \leq \frac{4}{3}x - \frac{1}{3}.

Система неравенств:
 \begin{cases} y \geq \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}, \ y \leq -\frac{1}{3}x + \frac{19}{3}, \ y \leq \frac{4}{3}x - \frac{1}{3}. \end{cases} 

в) Внутренний угол ( A ) треугольника

Для нахождения угла ( A ) используем скалярное произведение векторов:
\cos \alpha = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|},
где:
\vec{AB} = (6; 3),
\vec{AC} = (3; 4).

Находим скалярное произведение:
\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 6 \cdot 3 + 3 \cdot 4 = 18 + 12 = 30.

Находим длины векторов:
|\vec{AB}| = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5},
|\vec{AC}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.

Находим косинус угла:
\cos \alpha = \frac{30}{3\sqrt{5} \cdot 5} = \frac{30}{15\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}.

Угол:
\alpha = \arccos\left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right).

г) Длина высоты, проведенной из вершины ( A )

Высота из точки ( A ) на сторону ( BC ) равна расстоянию от точки ( A(1;1) ) до прямой ( BC ):
y = -\frac{1}{3}x + \frac{19}{3}.

Формула расстояния от точки до прямой:
h = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.

Приводим уравнение прямой к виду ( Ax + By + C = 0 ):
\frac{1}{3}x + y - \frac{19}{3} = 0,
где:
A = \frac{1}{3}, B = 1, C = -\frac{19}{3}.

Подставляем координаты точки ( A(1;1) ):
h = \frac{\left|\frac{1}{3} \cdot 1 + 1 \cdot 1 - \frac{19}{3}\right|}{\sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2 + 1^2}},
h = \frac{\left|\frac{1}{3} + 1 - \frac{19}{3}\right|}{\sqrt{\frac{1}{9} + 1}},
h = \frac{\left|\frac{4}{3} - \frac{19}{3}\right|}{\sqrt{\frac{10}{9}}},
h = \frac{\left|-\frac{15}{3}\right|}{\frac{\sqrt{10}}{3}},
h = \frac{5}{\sqrt{10}} = \frac{5\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{2}.

Высота:
h = \frac{\sqrt{10}}{2}.

д) Площадь треугольника

Площадь треугольника через координаты вершин:
S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|.

Подставляем координаты ( A(1;1) ), ( B(7;4) ), ( C(4;5) ):
S = \frac{1}{2} \left| 1(4 - 5) + 7(5 - 1) + 4(1 - 4) \right|,
S = \frac{1}{2} \left| 1(-1) + 7(4) + 4(-3) \right|,
S = \frac{1}{2} \left| -1 + 28 - 12 \right|,
S = \frac{1}{2} \cdot 15 = 7.5.

Площадь треугольника:
S = 7.5.

Ответы:
а) Уравнения сторон:
y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2},
y = -\frac{1}{3}x + \frac{19}{3},
y = \frac{4}{3}x - \frac{1}{3}.

б) Система неравенств:
 \begin{cases} y \geq \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}, \ y \leq -\frac{1}{3}x + \frac{19}{3}, \ y \leq \frac{4}{3}x - \frac{1}{3}. \end{cases} 

в) Угол ( A ):
\alpha = \arccos\left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right).

г) Высота:
h = \frac{\sqrt{10}}{2}.

д) Площадь:
S = 7.5.