Найти уравнения сторон если даны координаты вершин треугольника

Предмет: Геометрия/Аналитическая геометрия

Раздел: Уравнения прямых на плоскости (векторный и аналитический метод).

Задача:

Найти уравнения сторон \( AB \) и \( AC \), если даны координаты вершин треугольника: \( A(-7, 1) \), \( B(5, 0) \), \( C(2, 5) \).

Для нахождения уравнений прямых будем использовать каноническое уравнение прямой:

\[\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}.\]

Далее преобразуем это уравнение в общий вид прямой: \( ax + by + c = 0 \).

1. Уравнение стороны \( AB \)

Даны точки \( A(-7, 1) \) и \( B(5, 0) \). Используем формулу канонического уравнения. Подставляем координаты точек:

\[\frac{x - (-7)}{5 - (-7)} = \frac{y - 1}{0 - 1}.\]

\[\frac{x + 7}{12} = \frac{y - 1}{-1}.\]

Устраним дроби (перемножим крест-накрест):

\[(x + 7)(-1) = 12(y - 1).\]

\[-x - 7 = 12y - 12.\]

\[x + 12y + 5 = 0.\]

Итоговое уравнение стороны \( AB \):

\[x + 12y + 5 = 0.\]

2. Уравнение стороны \( AC \)

Даны точки \( A(-7, 1) \) и \( C(2, 5) \). Используем ту же формулу. Подставляем координаты:

\[\frac{x - (-7)}{2 - (-7)} = \frac{y - 1}{5 - 1}.\]

\[\frac{x + 7}{9} = \frac{y - 1}{4}.\]

Устраним дроби (перемножим крест-накрест):

\[4(x + 7) = 9(y - 1).\]

\[4x + 28 = 9y - 9.\]

\[4x - 9y + 37 = 0.\]

Итоговое уравнение стороны \( AC \):

\[4x - 9y + 37 = 0.\]

Ответ:

1. \( AB: \, x + 12y + 5 = 0 \);
2. \( AC: \, 4x - 9y + 37 = 0 \).

Пояснение каждого шага:

1. Для нахождения уравнения прямой использовали метод пропорции координат.
2. Преобразовали каноническое уравнение в общий вид, устраняя дроби.
3. Получили итоговые уравнения для каждой стороны.

Уравнения сторон треугольника: