Найти уравнения медиан СС1 и АА1 треугольника АВС

Предмет: Геометрия Раздел: Планиметрия, координатная геометрия. Уравнение прямой

Тебе нужно найти уравнения медиан треугольника ABC, проведённых из вершин \( C \) и \( A \).

Шаг 1: Определение координат середин сторон.

Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Для нахождения уравнений медиан, начнём с нахождения середин сторон, к которым они опущены.

С1 — середина стороны \( AB \).

Координаты середины стороны \( AB \) можно найти по формуле середины отрезка:

\[ x_{C_1} = \frac{x_A + x_B}{2}, \quad y_{C_1} = \frac{y_A + y_B}{2} \]

Подставляем координаты точек \( A(-2, 1) \) и \( B(4, 0) \):

\[ x_{C_1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

\[ y_{C_1} = \frac{1 + 0}{2} = \frac{1}{2} = 0.5 \]

Таким образом, координаты точки \( C_1(1, 0.5) \) (середины стороны \( AB \)) равны \( C_1(1, 0.5) \).

А1 — середина стороны \( BC \).

Координаты середины стороны \( BC \) можно найти по аналогичной формуле:

\[ x_{A_1} = \frac{x_B + x_C}{2}, \quad y_{A_1} = \frac{y_B + y_C}{2} \]

Подставляем координаты точек \( B(4, 0) \) и \( C(3, 7) \):

\[ x_{A_1} = \frac{4 + 3}{2} = \frac{7}{2} = 3.5 \]

\[ y_{A_1} = \frac{0 + 7}{2} = 3.5 \]

Таким образом, координаты точки \( A_1(3.5, 3.5) \) (середины стороны \( BC \)) равны \( A_1(3.5, 3.5) \).

Шаг 2: Уравнение медианы \( CC_1 \).

Теперь составим уравнение прямой, проходящей через точки \( C(3, 7) \) и \( C_1(1, 0.5) \). Уравнение прямой можно найти, используя формулу:

\[ y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1) \]

Где \( (x_1, y_1) \) — координаты первой точки, а \( (x_2, y_2) \) — координаты второй точки. Подставляем координаты точек \( C(3, 7) \) и \( C_1(1, 0.5) \):

\[ y - 7 = \frac{0.5 - 7}{1 - 3}(x - 3) \]

\[ y - 7 = \frac{-6.5}{-2}(x - 3) \]

\[ y - 7 = 3.25(x - 3) \]

Раскрываем скобки:

\[ y - 7 = 3.25x - 9.75 \]

\[ y = 3.25x - 9.75 + 7 \]

\[ y = 3.25x - 2.75 \]

Таким образом, уравнение медианы \( CC_1 \) — \( y = 3.25x - 2.75 \).

Шаг 3: Уравнение медианы \( AA_1 \).

Теперь составим уравнение прямой, проходящей через точки \( A(-2, 1) \) и \( A_1(3.5, 3.5) \). Опять используем формулу:

\[ y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1) \]

Подставляем координаты точек \( A(-2, 1) \) и \( A_1(3.5, 3.5) \):

\[ y - 1 = \frac{3.5 - 1}{3.5 - (-2)}(x - (-2)) \]

\[ y - 1 = \frac{2.5}{3.5 + 2}(x + 2) \]

\[ y - 1 = \frac{5}{11}(x + 2) \]

Раскрываем скобки:

\[ y - 1 = \frac{5}{11}x + \frac{10}{11} \]

\[ y = \frac{5}{11}x + \frac{10}{11} + 1 \]

Приводим к общему знаменателю:

\[ y = \frac{5}{11}x + \frac{21}{11} \]

Таким образом, уравнение медианы \( AA_1 \) — \( y = \frac{5}{11}x + \frac{21}{11} \).

Ответ:

Медиана \( CC_1 \): \( y = 3.25x - 2.75 \)

Медиана \( AA_1 \): \( y = \frac{5}{11}x + \frac{21}{11} \)