Найти уравнение высоты ВН треугольника АВС, её длину

Определение предмета и раздела:

Данное задание относится к предмету "Геометрия". Конкретно, это вопрос из раздела аналитической геометрии, связанный с нахождением уравнений прямых на плоскости и вычислением расстояний.

Задание:

Найти уравнение высоты \(BH\) треугольника \(ABC\), а также её длину. Даны координаты вершин:

• \(A (-2; 1)\)
• \(B (4; 0)\)
• \(C (3; 7)\)

Решение:

1. Найдём уравнение высоты \(BH\).

Высота в треугольнике — это перпендикуляр из вершины на противоположную сторону. В нашем случае высота \(BH\) — это прямая, проходящая через точку \(B(4;0)\) и перпендикулярная стороне \(AC\). Чтобы найти уравнение высоты, нужно сначала найти уравнение стороны \(AC\) и угол наклона этой стороны. Затем используем свойства перпендикулярности прямых.

1.1 Найдём уравнение стороны \(AC\):

Для этого найдём угловой коэффициент (наклон) прямой \(AC\). Угловой коэффициент между двумя точками \(A (x_1; y_1)\) и \(C (x_2; y_2)\) равен:

\[ k_{AC} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{7 - 1}{3 - (-2)} = \frac{6}{5} \]

Теперь используем уравнение прямой в общем виде \(y = kx + b\), где \(k\) — угловой коэффициент, а \(b\) — свободный член. Подставляем точку \(A (-2; 1)\) для нахождения \(b\):

\[ 1 = \frac{6}{5} \cdot (-2) + b \Rightarrow 1 = -\frac{12}{5} + b \]

\[ b = 1 + \frac{12}{5} = \frac{5}{5} + \frac{12}{5} = \frac{17}{5} \]

Итак, уравнение прямой \(AC\) выглядит так:

\[ y = \frac{6}{5}x + \frac{17}{5} \]

1.2 Найдём угловой коэффициент высоты \(BH\):

Высота \(BH\) должна быть перпендикулярна прямой \(AC\). Если прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты связаны соотношением:

\[ k_{AC} \cdot k_{BH} = -1 \]

Подставим \(k_{AC} = \frac{6}{5}\):

\[ \frac{6}{5} \cdot k_{BH} = -1 \]

\[ k_{BH} = -\frac{5}{6} \]

1.3 Уравнение высоты \(BH\):

Теперь нам нужно найти уравнение высоты \(BH\), которая имеет угловой коэффициент \(k_{BH} = -\frac{5}{6}\) и проходит через точку \(B(4; 0)\). Уравнение прямой выглядит так: \( y = kx + b\). Подставим известные значения \(k = -\frac{5}{6}\) и точку \(B(4; 0)\), чтобы найти \(b\):

\[ 0 = -\frac{5}{6} \cdot 4 + b \]

\[ b = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} \]

Итак, уравнение высоты \(BH\):

\[ y = -\frac{5}{6}x + \frac{10}{3} \]

2. Найдём длину высоты \(BH\):

Длина высоты \(BH\) — это расстояние от точки \(B(4; 0)\) до прямой \(AC\). Для этого используем формулу расстояния от точки до прямой общего вида \(Ax + By + C = 0\):

\[ d = \frac{|A \cdot x_B + B \cdot y_B + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

Прежде чем использовать эту формулу, нужно записать уравнение прямой \(AC\) в общем виде. Мы знаем, что уравнение \(AC\) имеет вид:

\[ y = \frac{6}{5}x + \frac{17}{5} \]

Приведём его к форме \(Ax + By + C = 0\):

\[ 6x - 5y + 17 = 0 \]

Теперь подставим координаты точки \(B(4; 0)\) и коэффициенты \(A = 6\), \(B = -5\), \(C = 17\) в формулу:

\[ d = \frac{|6 \cdot 4 + (-5) \cdot 0 + 17|}{\sqrt{6^2 + (-5)^2}} = \frac{|24 + 17|}{\sqrt{36 + 25}} = \frac{41}{\sqrt{61}} \]

Упростим результат:

\[ d = \frac{41}{\sqrt{61}} \approx 5,24 \]

Ответ:

• Уравнение высоты \(BH\): \(y = -\frac{5}{6}x + \frac{10/3}\);
• Длина высоты \(BH \approx 5,24\) единиц.

Итак, длина высоты \(BH \approx 5,24\) единиц.