Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Предмет: Геометрия
Раздел: Аналитическая геометрия на плоскости
Найти уравнение высоты \( AM \) треугольника \( ABC \), где даны координаты вершин:
\[ A(-7, 1), \, B(5, 0), \, C(2, 5). \]
Высота \( AM \) — это прямая, проходящая через вершину \( A \) и перпендикулярная стороне \( BC \) треугольника.
Сторона \( BC \) проходит через точки \( B(5, 0) \) и \( C(2, 5) \). Чтобы составить уравнение прямой, выразим её наклон \( k_{BC} \) (коэффициент углового наклона):
\[ k_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{5 - 0}{2 - 5} = \frac{5}{-3} = -\frac{5}{3}. \]
Теперь запишем уравнение прямой \( BC \) в виде:
\[ y - y_B = k_{BC}(x - x_B). \]
Подставляем \( B(5, 0) \) и \( k_{BC} = -\frac{5}{3} \):
\[ y - 0 = -\frac{5}{3}(x - 5), \]
\[ y = -\frac{5}{3}x + \frac{25}{3}. \]
Итак, уравнение \( BC \):
\[ y = -\frac{5}{3}x + \frac{25}{3}. \]
Высота \( AM \) перпендикулярна стороне \( BC \), а угловые коэффициенты двух перпендикулярных прямых связаны соотношением:
\[ k_{AM} \cdot k_{BC} = -1. \]
Подставляем \( k_{BC} = -\frac{5}{3} \):
\[ k_{AM} \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) = -1, \]
\[ k_{AM} = \frac{3}{5}. \]
Итак, угловой коэффициент высоты \( AM \):
\[ k_{AM} = \frac{3}{5}. \]
Высота \( AM \) проходит через точку \( A(-7, 1) \) и имеет угловой коэффициент \( k_{AM} = \frac{3}{5} \). Уравнение прямой записывается в виде:
\[ y - y_A = k_{AM}(x - x_A). \]
Подставляем \( A(-7, 1) \) и \( k_{AM} = \frac{3}{5} \):
\[ y - 1 = \frac{3}{5}(x + 7). \]
Упростим:
\[ y - 1 = \frac{3}{5}x + \frac{21}{5}. \]
\[ y = \frac{3}{5}x + \frac{21}{5} + 1. \]
Приведем всё к единому знаменателю:
\[ y = \frac{3}{5}x + \frac{21}{5} + \frac{5}{5} = \frac{3}{5}x + \frac{26}{5}. \]
Итак, уравнение высоты \( AM \):
Уравнение высоты \( AM \):
\[ y = \frac{3}{5}x + \frac{26}{5}. \]