Найти уравнение высоты СТ, проведенной из вершины C на сторону AB и длину этой высоты

Предмет: геометрия Раздел: аналитическая геометрия на плоскости

Итак, перед нами задача, в которой даны координаты вершин треугольника \( A(-1; 1) \), \( B(2; 5) \), \( C(3; 3) \). Нам нужно найти:

1. Уравнение высоты \( CT \), проведенной из вершины \( C \) на сторону \( AB \).
2. Длину этой высоты.

Шаг 1: Найдем уравнение прямой \( AB \)

Высота \( CT \) должна быть перпендикулярна стороне \( AB \), значит, нам нужно сначала найти уравнение прямой, проходящей через точки \( A(-1; 1) \) и \( B(2; 5) \). Уравнение прямой на плоскости имеет вид: \[ y - y_1 = k(x - x_1), \] где \( k \) — угловой коэффициент (наклон линии), а \( (x_1, y_1) \) — координаты любой точки на прямой. Для начала найдем угловой коэффициент \( k \) для прямой \( AB \). Он вычисляется по формуле: \[ k = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}. \] Подставим значения: \[ k = \frac{5 - 1}{2 - (-1)} = \frac{4}{3}. \] Теперь запишем уравнение прямой \( AB \). Подставим уже известные координаты точки \( A(-1; 1) \) в уравнение прямой: \[ y - 1 = \frac{4}{3}(x + 1). \] Раскроем скобки и упростим уравнение: \[ y - 1 = \frac{4}{3}x + \frac{4}{3}, \] \[ y = \frac{4}{3}x + \frac{4}{3} + 1 = \frac{4}{3}x + \frac{7}{3}. \] Следовательно, уравнение прямой \( AB \): \[ y = \frac{4}{3}x + \frac{7}{3}. \]

Шаг 2: Найдем уравнение высоты \( CT \)

Поскольку высота \( CT \) перпендикулярна прямой \( AB \), то угловой коэффициент прямой, содержащей высоту \( CT \), будет обратным и с противоположным знаком по отношению к \( k_{AB} = \frac{4}{3} \) (так как произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно \(-1\)). Таким образом, угловой коэффициент \( k_{CT} \) для высоты \( CT \) будет: \[ k_{CT} = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{3}{4}. \] Теперь составим уравнение прямой для высоты \( CT \), которая проходит через точку \( C(3; 3) \): \[ y - 3 = -\frac{3}{4}(x - 3). \] Раскроем скобки и упростим уравнение: \[ y - 3 = -\frac{3}{4}x + \frac{9}{4}, \] \[ y = -\frac{3}{4}x + \frac{9}{4} + 3 = -\frac{3}{4}x + \frac{21/4}. \] Итак, уравнение высоты \( CT \): \[ y = -\frac{3}{4}x + \frac{21}{4}. \]

Шаг 3: Найдем точку пересечения \( T \) (основание высоты)

Теперь нужно найти точку пересечения высоты \( CT \) с прямой \( AB \), то есть решить систему уравнений: \[ \text{1.} \quad y = \frac{4}{3}x + \frac{7}{3}, \] \[ \text{2.} \quad y = -\frac{3}{4}x + \frac{21}{4}. \] Приравняем правые части: \[ \frac{4}{3}x + \frac{7}{3} = -\frac{3}{4}x + \frac{21}{4}. \] Умножим всё уравнение на 12, чтобы избавиться от дробей: \[ 16x + 28 = -9x + 63. \] Перенесем все с \( x \) в левую часть, а константы — в правую: \[ 16x + 9x = 63 - 28, \] \[ 25x = 35, \] \[ x = \frac{35}{25} = 1.4. \] Теперь найдем \( y \), подставив \( x = 1.4 \) в уравнение \( AB \): \[ y = \frac{4}{3} \times 1.4 + \frac{7}{3}. \] Посчитаем отдельно: \[ \frac{4}{3} \times 1.4 = \frac{4 \times 14}{30} = \frac{56}{30} = \frac{28}{15} \approx 1.87, \] а \[ \frac{7}{3} \approx 2.33, \] тогда \[ y \approx 1.87 + 2.33 = 4.2. \] Итак, точка пересечения \( T \) имеет координаты \( T(1.4; 4.2) \).

Шаг 4: Найдем длину высоты

Ответы:

1. Уравнение высоты \( CT \): \[ y = -\frac{3}{4}x + \frac{21}{4}. \]
2. Длина высоты \( CT = 2 \).

Теперь, чтобы найти длину высоты \( CT \), используем формулу расстояния между двумя точками. Формула расстояния между точками \( C(3; 3) \) и \( T(1.4; 4.2) \):

\[ CT = \sqrt{(x_C - x_T)^2 + (y_C - y_T)^2}. \]

Подставляем значения:

\[ CT = \sqrt{(3 - 1.4)^2 + (3 - 4.2)^2} = \sqrt{(1.6)^2 + (-1.2)^2} = \sqrt{2.56 + 1.44} = \sqrt{4} = 2. \]