Найти уравнение высоты, проведенной из вершины. Найти уравнение медианы, проведенной из вершины

Определение предмета и раздела:

Данное задание относится к геометрии, раздел аналитическая геометрия на плоскости. Рассмотрим шаг за шагом решение задания.

Условие и данные:

Даны вершины треугольника: \( A(-2, -4) \), \( B(-3, 1) \), \( C(5, -3) \).

1. Найдем уравнение высоты \( AM \), проведенной из вершины \( C \).
2. Найдем уравнение медианы \( CK \), проведенной из вершины \( C \).
3. Найдем косинус угла между высотой \( AM \) и медианой \( CK \).
4. Найдем длину высоты \( AM \).

1. Уравнение высоты \( AM \), проведенной из вершины \( C \):

Высота треугольника \( AM \) проводится из вершины \( A \) и перпендикулярна стороне \( BC \). Чтобы найти уравнение высоты, нужно:

Шаг 1.1. Найти уравнение прямой \( BC \):

Уравнение прямой в общем виде можно записать как: \[ y - y_1 = k(x - x_1), \] где \( k \) — угловой коэффициент прямой, а \( (x_1, y_1) \) — точка, через которую проходит прямая.

Найдем угловой коэффициент \( k \) для прямой \( BC \) по формуле:

\[ k_{BC} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-3 - 1}{5 - (-3)} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}. \]

Тогда уравнение прямой \( BC \) записывается как:

\[ y - 1 = -\frac{1}{2}(x - (-3)) \quad \Rightarrow \quad y - 1 = -\frac{1}{2}(x + 3). \]

Упростим:

\[ y = -\frac{1}{2}x - \frac{3}{2} + 1 \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}. \]

Таким образом, уравнение прямой \( BC \):

\[ y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}. \]

Шаг 1.2. Найти угловой коэффициент высоты \( AM \):

Высота \( AM \) перпендикулярна стороне \( BC \), поэтому угловые коэффициенты \( k_{AM} \) и \( k_{BC} \) связаны соотношением:

\[ k_{AM} \cdot k_{BC} = -1. \]

Подставим \( k_{BC} = -\frac{1}{2} \):

\[ k_{AM} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1 \quad \Rightarrow \quad k_{AM} = 2. \]

Шаг 1.3. Уравнение прямой \( AM \):

Теперь составим уравнение прямой \( AM \), проходящей через точку \( A(-2, -4) \) с угловым коэффициентом \( k_{AM} = 2 \):

\[ y - y_1 = k_{AM}(x - x_1), \] где \( (x_1, y_1) = (-2, -4) \).

Подставим значения:

\[ y - (-4) = 2(x - (-2)) \quad \Rightarrow \quad y + 4 = 2(x + 2). \]

Упростим:

\[ y + 4 = 2x + 4 \quad \Rightarrow \quad y = 2x. \]

Таким образом, уравнение высоты \( AM \):

\[ y = 2x. \]

2. Уравнение медианы \( CK \), проведенной из вершины \( C \):

Медиана треугольника \( CK \) — это прямая, соединяющая вершину \( C \) с серединой противоположной стороны \( AB \).

Шаг 2.1. Найдем координаты середины стороны \( AB \) (точка \( K \)):

Координаты середины отрезка находятся по формуле:

\[ x_K = \frac{x_A + x_B}{2}, \quad y_K = \frac{y_A + y_B}{2}. \]

Подставим координаты точек \( A(-2, -4) \) и \( B(-3, 1) \):

\[ x_K = \frac{-2 + (-3)}{2} = \frac{-5}{2}, \quad y_K = \frac{-4 + 1}{2} = \frac{-3}{2}. \]

Таким образом, \( K\left(-\frac{5}{2}, -\frac{3}{2}\right) \).

Шаг 2.2. Найдем уравнение прямой \( CK \):

Уравнение прямой \( CK \) записывается как:

\[ y - y_1 = k(x - x_1), \] где \( (x_1, y_1) = (5, -3) \) и \( k \) — угловой коэффициент.