Найти уравнение высоты, проведенной из вершины. Найти уравнение медианы, проведенной из вершины

Определение предмета и раздела:

Данное задание относится к геометрии, раздел аналитическая геометрия на плоскости. Рассмотрим шаг за шагом решение задания.

Условие и данные:

Даны вершины треугольника: $\text{(}A(-2,-4)\text{)}$, $\text{(}B(-3,1)\text{)}$, $\text{(}C(5,-3)\text{)}$.

1. Найдем уравнение высоты $\text{(}AM\text{)}$, проведенной из вершины $\text{(}C\text{)}$.
2. Найдем уравнение медианы $\text{(}CK\text{)}$, проведенной из вершины $\text{(}C\text{)}$.
3. Найдем косинус угла между высотой $\text{(}AM\text{)}$ и медианой $\text{(}CK\text{)}$.
4. Найдем длину высоты $\text{(}AM\text{)}$.

1. Уравнение высоты $\text{(}AM\text{)}$, проведенной из вершины $\text{(}C\text{)}$:

Высота треугольника $\text{(}AM\text{)}$ проводится из вершины $\text{(}A\text{)}$ и перпендикулярна стороне $\text{(}BC\text{)}$. Чтобы найти уравнение высоты, нужно:

Шаг 1.1. Найти уравнение прямой $\text{(}BC\text{)}$:

Уравнение прямой в общем виде можно записать как: $\text{[}y-y_1=k(x-x_1),\text{]}$ где $\text{(}k\text{)}$ — угловой коэффициент прямой, а $\text{(}(x_1,y_1)\text{)}$ — точка, через которую проходит прямая.

Найдем угловой коэффициент $\text{(}k\text{)}$ для прямой $\text{(}BC\text{)}$ по формуле:

$\text{[}{k}_{BC}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-3-1}{5-(-3)}=\frac{-4}{8}=-\frac{1}{2}.\text{]}$

Тогда уравнение прямой $\text{(}BC\text{)}$ записывается как:

$\text{[}y-1=-\frac{1}{2}(x-(-3))\Rightarrow y-1=-\frac{1}{2}(x+3).\text{]}$

Упростим:

$\text{[}y=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}+1\Rightarrow y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}.\text{]}$

Таким образом, уравнение прямой $\text{(}BC\text{)}$:

$\text{[}y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}.\text{]}$

Шаг 1.2. Найти угловой коэффициент высоты $\text{(}AM\text{)}$:

Высота $\text{(}AM\text{)}$ перпендикулярна стороне $\text{(}BC\text{)}$, поэтому угловые коэффициенты $\text{(}{k}_{AM}\text{)}$ и $\text{(}{k}_{BC}\text{)}$ связаны соотношением:

$\text{[}{k}_{AM}\cdot k_{BC}=-1.\text{]}$

Подставим $\text{(}{k}_{BC}=-\frac{1}{2}\text{)}$:

$\text{[}{k}_{AM}\cdot (-\frac{1}{2})=-1\Rightarrow k_{AM}=2.\text{]}$

Шаг 1.3. Уравнение прямой $\text{(}AM\text{)}$:

Теперь составим уравнение прямой $\text{(}AM\text{)}$, проходящей через точку $\text{(}A(-2,-4)\text{)}$ с угловым коэффициентом $\text{(}{k}_{AM}=2\text{)}$:

$\text{[}y-y_1=k_{AM}(x-x_1),\text{]}$ где $\text{(}(x_1,y_1)=(-2,-4)\text{)}$.

Подставим значения:

$\text{[}y-(-4)=2(x-(-2))\Rightarrow y+4=2(x+2).\text{]}$

Упростим:

$\text{[}y+4=2x+4\Rightarrow y=2x.\text{]}$

Таким образом, уравнение высоты $\text{(}AM\text{)}$:

$\text{[}y=2x.\text{]}$

2. Уравнение медианы $\text{(}CK\text{)}$, проведенной из вершины $\text{(}C\text{)}$:

Медиана треугольника $\text{(}CK\text{)}$ — это прямая, соединяющая вершину $\text{(}C\text{)}$ с серединой противоположной стороны $\text{(}AB\text{)}$.

Шаг 2.1. Найдем координаты середины стороны $\text{(}AB\text{)}$ (точка $\text{(}K\text{)}$):

Координаты середины отрезка находятся по формуле:

$\text{[}{x}_K=\frac{x_A+x_B}{2},y_K=\frac{y_A+y_B}{2}.\text{]}$

Подставим координаты точек $\text{(}A(-2,-4)\text{)}$ и $\text{(}B(-3,1)\text{)}$:

$\text{[}{x}_K=\frac{-2+(-3)}{2}=\frac{-5}{2},y_K=\frac{-4+1}{2}=\frac{-3}{2}.\text{]}$

Таким образом, $\text{(}K(-\frac{5}{2},-\frac{3}{2})\text{)}$.

Шаг 2.2. Найдем уравнение прямой $\text{(}CK\text{)}$:

Уравнение прямой $\text{(}CK\text{)}$ записывается как:

$\text{[}y-y_1=k(x-x_1),\text{]}$ где $\text{(}(x_1,y_1)=(5,-3)\text{)}$ и $\text{(}k\text{)}$ — угловой коэффициент.