Найти уравнение высоты, проведенной из точки A

Предмет: Геометрия

Раздел: Аналитическая геометрия

Задание:

Даны координаты вершин треугольника \( A(2, 1) \), \( B(1, 1) \), \( C(-3, 3) \). Найти уравнение высоты, проведенной из точки \( A \).

Решение:

1. Напоминание: Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из одной вершины треугольника на противоположную сторону (или ее продолжение). Мы ищем уравнение высоты, проведенной из вершины \( A(2, 1) \) на сторону \( BC \).
2. Шаг 1. Найти уравнение прямой \( BC \):

   Для начала, найдём уравнение прямой, проходящей через точки \( B(1, 1) \) и \( C(-3, 3) \). Уравнение прямой можно записать в виде:

   \[ y - y_B = m(x - x_B) \]

   где \( m \) — это угловой коэффициент (наклон) прямой, который можно найти по формуле:

   \[ m = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} \]

   Подставляем значения точек \( B(1, 1) \) и \( C(-3, 3) \):

   \[ m = \frac{3 - 1}{-3 - 1} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2} \]

   Значит, угловой коэффициент прямой \( BC \) равен \( m = -\frac{1}{2} \). Теперь подставляем \( m \), а также координаты точки \( B(1, 1) \) в уравнение прямой:

   \[ y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1) \]

   Упрощаем:

   \[ y - 1 = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \]

   \[ y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} + 1 \]

   \[ y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \]

   Таким образом, уравнение прямой \( BC \):

   \[ y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \]

3. Шаг 2. Найти угловой коэффициент высоты через точку \( A(2, 1) \):

   Высота является перпендикулярной к стороне \( BC \). Если две прямые перпендикулярны, то произведение их угловых коэффициентов равно \( -1 \). Пусть угловой коэффициент высоты равен \( m_h \). Тогда:

   \[ m \cdot m_h = -1 \]

   Подставляем \( m = -\frac{1}{2} \):

   \[ -\frac{1}{2} \cdot m_h = -1 \]

   \[ m_h = 2 \]

   Таким образом, угловой коэффициент высоты равен \( m_h = 2 \).

4. Шаг 3. Составить уравнение высоты:

   Теперь мы можем записать уравнение высоты, зная, что она проходит через точку \( A(2, 1) \) и имеет угловой коэффициент \( m_h = 2 \). Уравнение прямой запишем в виде:

   \[ y - y_A = m_h(x - x_A) \]

   Подставляем координаты точки \( A(2, 1) \) и \( m_h = 2 \):

   \[ y - 1 = 2(x - 2) \]

   Раскрываем скобки:

   \[ y - 1 = 2x - 4 \]

   \[ y = 2x - 4 + 1 \]

   \[ y = 2x - 3 \]

   Таким образом, уравнение высоты, проведенной из точки \( A \), имеет вид:

   \[ y = 2x - 3 \]

Ответ:

Уравнение высоты, проведенной из точки \( A(2, 1) \), имеет вид: \( y = 2x - 3 \).