Найти уравнение высоты и медианы треугольника, используя данные координаты вершин треугольника

Задание номер 38 относится к разделу аналитической геометрии. Необходимо найти уравнение высоты \(AD\) и медианы \(CM\) треугольника \(ABC\), используя данные координаты вершин треугольника \(A\), \(B\), \(C\): \[ A(12; -2), \, B(-4; -14), \, C(3; 5). \]

Разберем задачу подробно.

1. Уравнение высоты \(AD\)

Высота \(AD\) – перпендикуляр, опущенный из вершины \(A\) на противоположную сторону \(BC\). Сначала найдем уравнение стороны \(BC\).

Уравнение стороны \(BC\) (общее уравнение прямой)

Формула уравнения прямой через две точки: \[ (y - y_1) = k(x - x_1), \] где \(k\) — угловой коэффициент.

Координаты \(B(-4; -14)\) и \(C(3; 5)\): \[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5 - (-14)}{3 - (-4)} = \frac{19}{7}. \]

Подставляем в уравнение: \[ y - (-14) = \frac{19}{7}(x - (-4)). \]

Приведем к стандартному виду: \[ y + 14 = \frac{19}{7}(x + 4), \] \[ y = \frac{19}{7}x + \frac{76}{7} - 14, \] \[ y = \frac{19}{7}x - \frac{22}{7}. \]

Итак, уравнение стороны \(BC\): \[ y = \frac{19}{7}x - \frac{22}{7}. \]

Перпендикулярное направление высоты \(AD\)

Коэффициент \(k_1\) для высоты \(AD\) будет обратным и противоположным: \[ k_1 = -\frac{7}{19}. \]

Уравнение прямой через точку \(A(12; -2)\) с угловым коэффициентом \(k_1 = -\frac{7}{19}\): \[ y - (-2) = -\frac{7}{19}(x - 12). \]

Приведем к стандартному виду: \[ y + 2 = -\frac{7}{19}x + \frac{84}{19}, \] \[ y = -\frac{7}{19}x + \frac{84}{19} - 2, \] \[ y = -\frac{7}{19}x + \frac{46}{19}. \]

Окончательное уравнение высоты \(AD\): \[ y = -\frac{7}{19}x + \frac{46}{19}. \]

2. Уравнение медианы \(CM\)

Медиана \(CM\) – прямая, соединяющая вершину \(C\) с серединой стороны \(AB\).

Найдем середину \(M\) стороны \(AB\)

Координаты середины стороны \(M\): \[ M_x = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad M_y = \frac{y_1 + y_2}{2}. \]

Координаты \(A(12; -2)\) и \(B(-4; -14)\): \[ M_x = \frac{12 + (-4)}{2} = \frac{8}{2} = 4, \quad M_y = \frac{-2 + (-14)}{2} = \frac{-16}{2} = -8. \]

Середина \(M(4; -8)\).

Уравнение прямой \(CM\)

Координаты \(C(3; 5)\) и \(M(4; -8)\): \[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-8 - 5}{4 - 3} = \frac{-13}{1} = -13. \]

Уравнение прямой: \[ y - y_1 = k(x - x_1), \] \[ y - 5 = -13(x - 3), \] \[ y = -13x + 39 + 5, \] \[ y = -13x + 44. \]

Окончательное уравнение медианы \(CM\): \[ y = -13x + 44. \]

Ответ:

Уравнения:

1. Высота \(AD\): \[y = -\frac{7}{19}x + \frac{46}{19};\]

2. Медиана \(CM\): \[y = -13x + 44.\]