Определим предмет и раздел:
Предмет: Геометрия, аналитическая геометрия на плоскости.
Раздел: Параллелограммы, уравнение прямой через две точки.
Условие задачи:
Даны три последовательные вершины параллелограмма: A(3; -2), B(1; -1), C(0; 5).
Необходимо найти уравнение стороны \(AD\), не находя координаты вершины \(D\).
Решение:
-
Понимание структуры параллелограмма:
Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны.
У нас известны три последовательные вершины параллелограмма
\(A\), \(B\), \(C\).
И хотя нам не известна вершина \(D\), мы можем заметить, что стороны
\(AB\) и \(CD\) параллельны (по свойству параллелограмма).
-
Параллельные стороны:
Если \(AB \parallel CD\), то вектора \( \overrightarrow{AB} \)
и \( \overrightarrow{CD} \) будут коллинеарны. Нам нет необходимости находить координаты точки
\(D\), чтобы использовать это свойство для нахождения некоторых параметров стороны
\(AD\).
-
Задача: уравнение стороны \(AD\)
Чтобы найти уравнение прямой \(AD\), нужно сначала записать общее уравнение прямой,
проходящей через точку \(A(3; -2)\).
-
Общее уравнение прямой через точку:
Координаты точки \(A(3;-2)\) — это одна из точек, через которые проходит прямая.
Общее уравнение прямой можно записать в виде:
\[ y - y_1 = k(x - x_1), \]
где \( (x_1, y_1) \) — координаты известной точки на прямой, а
\(k\) — угловой коэффициент (наклон прямой).
Точка \(A(3; -2)\), значит:
\[ y + 2 = k(x - 3) \]
-
Наклон прямой (угловой коэффициент \(k\)):
Чтобы найти \(k\), нам нужно воспользоваться информацией об ориентации прямой.
Заметим, что стороны \(AD\) и \(BC\) параллельны
(другое свойство параллелограмма):
\[ AD \parallel BC \]
Следовательно, угловой коэффициент прямой \(AD\) равен угловому коэффициенту прямой \(BC\).
-
Найдем угловой коэффициент для прямой \(BC\):
Формула для углового коэффициента (\(k\)) между двумя точками
\((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) на плоскости:
\[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
Для отрезка \(BC\) нам даны: \(B(1; -1)\) и \(C(0; 5)\).
Подставляем координаты:
\[ k = \frac{5 - (-1)}{0 - 1} = \frac{6}{-1} = -6 \]
-
Подставляем наклон \(k = -6\) в уравнение прямой \(AD\):
С учетом углового коэффициента (\(k = -6\)) для прямой \(AD\)
(она параллельна \(BC\)):
\[ y + 2 = -6(x - 3) \]
-
Приведем уравнение к общему виду:
Раскрываем скобки: \[ y + 2 = -6x + 18 \]
Переносим все в одну сторону: \[ y = -6x + 16 \]
Ответ:
Уравнение стороны \(AD\) — \( y = -6x + 16 \).