Найти уравнение стороны

Предмет: Геометрия. Раздел: Аналитическая геометрия на плоскости.

Дано: Треугольник \( ABC \) с вершинами в точках: \( A(1,7) \), \( B(-3,-1) \), \( C(11,-3) \).

Задание:

1. Найти уравнение стороны \( AB \).
2. Найти уравнение высоты \( CH \) из вершины \( C \) на сторону \( AB \).
3. Найти уравнение медианы \( CM \), опущенной на сторону \( AB \) из вершины \( C \).
4. Найти расстояние от точки \( C \) до прямой \( AB \).

1. Нахождение уравнения стороны \( AB \)

Используем общий вид уравнения прямой на плоскости: \[ y = kx + b \], где \( k \) — угловой коэффициент, а \( b \) — свободный член.

Шаг 1. Найдем угловой коэффициент \( k \) для стороны \( AB \):

Формула для нахождения углового коэффициента через две точки: \[ k = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \]

Подставим координаты точек \( A(1, 7) \) и \( B(-3, -1) \): \[ k = \frac{-1 - 7}{-3 - 1} = \frac{-8}{-4} = 2 \]

Следовательно, угловой коэффициент \( k = 2 \).

Шаг 2. Найдем свободный член \( b \).

Для этого подставим известные координаты одной из точек (например, точки \( A(1,7) \)) в уравнение \( y = kx + b \): \[ 7 = 2 \cdot 1 + b \] \[ 7 = 2 + b \] \[ b = 7 - 2 = 5 \]

Получили уравнение стороны \( AB \): \[ y = 2x + 5 \]

2. Нахождение уравнения высоты \( CH \)

Высота \( CH \) — это прямая, перпендикулярная прямой \( AB \) и проходящая через точку \( C(11, -3) \).

Шаг 1. Найдем угловой коэффициент высоты.

Поскольку высота перпендикулярна стороне \( AB \), ее угловой коэффициент будет отрицательной обратной величиной углового коэффициента прямой \( AB \). Напомним, что угловой коэффициент \( AB = 2 \). Значит, угловой коэффициент высоты: \[ k_{CH} = -\frac{1}{2} \]

Шаг 2. Найдем свободный член для уравнения высоты.

Используем уравнение прямой в общем виде \( y = kx + b \) и подставим угловой коэффициент \( k = -\frac{1}{2} \) и координаты точки \( C(11, -3) \): \[ -3 = -\frac{1}{2} \cdot 11 + b \] \[ -3 = -\frac{11}{2} + b \]

Умножаем обе части на 2, чтобы избавиться от дробей: \[ -6 = -11 + 2b \] \[ 2b = 5 \] \[ b = \frac{5}{2} \]

Таким образом, уравнение высоты \( CH \) выглядит так: \[ y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2} \]

3. Нахождение уравнения медианы \( CM \)

Медиана — это прямая, соединяющая вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В данном случае медиана проводится из точки \( C(11, -3) \) до середины стороны \( AB \).

Шаг 1. Найдем середину отрезка \( AB \).

Координаты середины \( M \) отрезка \( AB \) находятся по формуле: \[ M \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) \]

Подставим координаты: \[ M \left( \frac{1 + (-3)}{2}, \frac{7 + (-1)}{2} \right) = M \left( \frac{-2}{2}, \frac{6}{2} \right) = M(-1, 3) \]

Шаг 2. Найдем уравнение медианы \( CM \).

Сначала находим угловой коэффициент медианы \( CM \): \[ k_{CM} = \frac{y_M - y_C}{x_M - x_C} = \frac{3 - (-3)}{-1 - 11} = \frac{6}{-12} = -\frac{1}{2} \]

Следовательно, угловой коэффициент медианы \( CM = -\frac{1}{2} \).

Теперь подставим в уравнение прямой \( y = kx + b \) координаты точки \( C(11, -3) \) и найдём \( b \): \[ -3 = -\frac{1}{2} \cdot 11 + b \] \[ -6 = -11 + 2b \] \[ 2b = 5 \] \[ b = \frac{5}{2} \]

Таким образом, уравнение медианы \( CM \): \[ y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2} \]

4. Найти расстояние от точки \( C(11, -3) \) до стороны \( AB \)

Расстояние от точки до прямой, заданной уравнением типа \( Ax + By + C = 0 \), вычисляется по формуле: \[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

Перепишем уравнение стороны \( AB \) в приведенном виде. Мы знаем, что уравнение \( AB: y = 2x + 5 \). Приведем его к стандартному виду: \[ y - 2x - 5 = 0 \] Здесь \( A = -2 \), \( B = 1 \), \( C = -5 \).

Теперь подставим координаты \( C(11, -3) \) в формулу для расстояния: \[ d = \frac{|(-2) \cdot 11 + 1 \cdot (-3) - 5|}{\sqrt{(-2)^2 + 1^2}} = \frac{| -22 - 3 - 5 |}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{| -30 |}{\sqrt{5}} = \frac{30}{\sqrt{5}} = \frac{30 \cdot \sqrt{5}}{5} = 6\sqrt{5} \]

Результаты:

1. Уравнение стороны \( AB \): \( y = 2x + 5 \).
2. Уравнение высоты \( CH \): \( y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2} \).
3. Уравнение медианы \( CM \): \( y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2} \).
4. Расстояние от точки \( C \) до стороны \( AB \): \( 6\sqrt{5} \).

Ответ: расстояние от точки \( C \) до стороны \( AB \) равно \( 6\sqrt{5} \).