Найти уравнение прямых и определить ключевые параметры геометрических фигур с использованием координатной системы

Определение предмета и раздела

Это задание по геометрии, а именно элементам аналитической геометрии на плоскости. Мы будем находить уравнения прямых и определять ключевые параметры геометрических фигур с использованием координатной системы.

Дано

Треугольник ABC имеет координаты вершин:

• A(-2, 3),
• B(3, 2),
• C(1, -2).

Требуется найти:

1. Уравнение прямой AC.
2. Уравнение высоты AH (высота из точки A к стороне BC).
3. Длину высоты AH.
4. Cos угла ∠C.
5. Неясно, какой именно вопрос в пункте 5. Возможно, стоит найти координаты ортоцентра или других ключевых точек — уточните.

Решение

1. Уравнение прямой AC

Прямая AC проходит через точки A(-2, 3) и C(1, -2). Уравнение прямой можно записывать в общем виде: \( y - y_1 = k(x - x_1), \) где \(k\) — это угловой коэффициент, который определяется как: \[ k = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A}. \] Подставляем координаты A(-2, 3) и C(1, -2): \[ k = \frac{-2 - 3}{1 - (-2)} = \frac{-5}{1 + 2} = \frac{-5}{3}. \] Теперь подставим коэффициент k и координаты одной из точек, например, A: \[ y - 3 = \frac{-5}{3}(x + 2). \] Раскроем скобки: \[ y - 3 = \frac{-5}{3}x - \frac{10}{3}. \] Приведем к общему виду (переносим 3 в правую часть): \[ y = \frac{-5}{3}x - \frac{10}{3} + 3 = \frac{-5}{3}x - \frac{10}{3} + \frac{9}{3}. \] То есть: \[ y = \frac{-5}{3}x - \frac{1}{3}. \] Это уравнение прямой AC.

2. Уравнение высоты AH

Высота AH идёт перпендикулярно к стороне BC. Чтобы найти уравнение AH, сначала найдём уравнение прямой BC. Найдем угловой коэффициент линии BC. Координаты точек B(3, 2) и C(1, -2): \[ k_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{-2 - 2}{1 - 3} = \frac{-4}{-2} = 2. \] Прямая AH перпендикулярна BC, поэтому её угловой коэффициент \(k_{AH}\) будет отрицательным обратным значением коэффициента \(k_{BC}\): \[ k_{AH} = -\frac{1}{2}. \] Теперь используем уравнение прямой через точку A(-2, 3) с коэффициентом \(k_{AH} = -\frac{1}{2}\): \[ y - 3 = -\frac{1}{2}(x + 2). \] Раскроем скобки: \[ y - 3 = -\frac{1}{2}x - 1. \] Переносим -3 в правую часть: \[ y = -\frac{1}{2}x - 1 + 3 = -\frac{1}{2}x + 2. \] Итак, уравнение прямой AH: \[ y = -\frac{1}{2}x + 2. \]

3. Длина высоты AH

Длина высоты — это расстояние от точки A до прямой BC. Для этого нужно воспользоваться формулой расстояния от точки до прямой: \[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}, \] где A, B, C — коэффициенты уравнения прямой BC, а \( (x_1, y_1) \) — координаты точки A(-2, 3). Для начала найдём уравнение прямой BC. Мы уже знаем её угловой коэффициент: \(k_{BC} = 2\). Уравнение прямой через точку B(3, 2): \[ y - 2 = 2(x - 3), \] или: \[ y - 2 = 2x - 6, \] \[ y = 2x - 4. \] Теперь преобразуем это уравнение к виду \(Ax + By + C = 0\): \[ 2x - y - 4 = 0. \] Здесь \(A = 2\), \(B = -1\), \(C = -4\). Теперь подставляем координаты точки A(-2, 3) в формулу для нахождения расстояния: \[ d = \frac{|2(-2) - 1(3) - 4|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{| -4 - 3 - 4 |}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{| -11 |}{\sqrt{5}} = \frac{11}{\sqrt{5}}. \] Окончательно: \[ d = \frac{11}{\sqrt{5}} \approx 4.92 \text{ единиц}. \] Это длина высоты AH.

4. Значение \( \cos \angle C \)

Ответы:

1. Уравнение прямой AC: \( y = \frac{-5}{3}x - \frac{1}{3} \).
2. Уравнение высоты AH: \( y = -\frac{1}{2}x + 2 \).
3. Длина высоты AH: \( \frac{11}{\sqrt{5}} \) (около 4.92 единиц).
4. \( \cos \angle C \approx 0.536 \).

Для расчёта косинуса угла между сторонами BC и AC используем векторный метод. Координаты направляющего вектора для стороны BC: \( \overrightarrow{BC} = (1 - 3, -2 - 2) = (-2, -4). \)

Координаты направляющего вектора для стороны AC: \( \overrightarrow{AC} = (1 - (-2), -2 - 3) = (3, -5). \)

Косинус угла между двумя векторами находится по формуле: \[ \cos \gamma = \frac{\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{BC}| \cdot |\overrightarrow{AC}|}, \] где \(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AC}\) — скалярное произведение векторов, а |\(\overrightarrow{BC}|\) и |\(\overrightarrow{AC}|\) — их длины.

\[ \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AC} = (-2) \cdot 3 + (-4) \cdot (-5) = -6 + 20 = 14. \]

Теперь найдём длины векторов:

\[ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}, \]

\[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{3^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}. \]

Теперь подставим в формулу:

\[ \cos \gamma = \frac{14}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{34}} = \frac{14}{\sqrt{680}} = \frac{14}{\sqrt{680}} \approx 0.536. \]