Найти уравнение прямой, проходящей через точки A и B

Задание относится к предмету "Геометрия", а именно к их разделу "Аналитическая геометрия".

Даны координаты точек треугольника:

• Точка A (1; 0)
• Точка B (-1; 4)
• Точка C (9; 5)

Нам нужно:

1. Найти уравнение прямой, проходящей через точки A и B (то есть уравнение стороны AB).
2. Вычислить расстояние от точки C до этой прямой.

Шаг 1. Нахождение уравнения прямой AB

Уравнение прямой в общем виде записывается как:

\[ Ax + By + C = 0 \]

Для нахождения этого уравнения, сначала определим угловой коэффициент (k) прямой AB. Угловой коэффициент прямой, проходящей через две точки, вычисляется по формуле:

\[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

Подставляем координаты точек A(1; 0) и B(-1; 4):

\[ k = \frac{4 - 0}{-1 - 1} = \frac{4}{-2} = -2 \]

Теперь уравнение прямой в "наклонной форме" можно записать следующим образом:

\[ y - y_1 = k(x - x_1) \]

Точка \( A(1; 0) \) нам известна, подставляем её координаты:

\[ y - 0 = -2(x - 1) \]

Раскрываем скобки:

\[ y = -2x + 2 \]

Это уравнение прямой в наклонной форме. Чтобы записать его в общем виде, перенесём все члены в одну сторону:

\[ 2x + y - 2 = 0 \]

Таким образом, уравнение стороны AB записывается как:

\[ 2x + y - 2 = 0 \]

Шаг 2. Нахождение расстояния от точки C до прямой AB

Расстояние от точки до прямой с уравнением \(Ax + By + C = 0\) вычисляется по формуле:

\[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

Где \( A = 2 \), \( B = 1 \), \( C = -2 \), а координаты точки C — \( x_1 = 9 \), \( y_1 = 5 \).

Подставляем значения в формулу:

\[ d = \frac{|2 \cdot 9 + 1 \cdot 5 - 2|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|18 + 5 - 2|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{|21|}{\sqrt{5}} = \frac{21}{\sqrt{5}} \]

Теперь избавимся от иррациональности в знаменателе:

\[ d = \frac{21 \cdot \sqrt{5}}{5} = \frac{21\sqrt{5}}{5} \]

Итак, расстояние от точки \( C(9; 5) \) до прямой \( 2x + y - 2 = 0 \) равно:

Ответ:

1. Уравнение стороны AB: \( 2x + y - 2 = 0 \)
2. Расстояние от точки C до прямой AB: \( \frac{21\sqrt{5}}{5} \)

\[ d = \frac{21\sqrt{5}}{5} \]