Найти уравнение прямой, проходящей через точки

Для начала определим предмет и раздел предмета, к которому относится данное задание.

Данное задание относится к предмету математики, а конкретнее — к разделу аналитической геометрии в координатной плоскости. Нам нужно найти уравнение прямой, проходящей через точки \( A(4, 2) \) и \( C(-1, 1) \).

Шаг 1: Найдём угловой коэффициент (наклон) прямой \( AC \).

Формула для нахождения углового коэффициента \( k \) прямой, проходящей через две точки \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \):

\[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

Подставляем координаты точек \( A(4, 2) \) и \( C(-1, 1) \):

\[ k = \frac{1 - 2}{-1 - 4} = \frac{-1}{-5} = \frac{1}{5} \]

Шаг 2: Найдём уравнение прямой в общем виде \( y = kx + b \).

На данный момент у нас есть угловой коэффициент \( k = \frac{1}{5} \). Теперь подставим координаты одной из точек (например, точки \( A \)) в уравнение для нахождения свободного члена \( b \):

\[ y = kx + b \]

\[ 2 = \frac{1}{5} \cdot 4 + b \]

\[ 2 = \frac{4}{5} + b \]

Теперь решим это уравнение относительно \( b \):

\[ b = 2 - \frac{4}{5} \]

\[ b = \frac{10}{5} - \frac{4}{5} \]

\[ b = \frac{6}{5} \]

Шаг 3: Соберём окончательное уравнение прямой.

У нас есть \( k = \frac{1}{5} \) и \( b = \frac{6}{5} \). Следовательно, уравнение прямой имеет вид:

\[ y = \frac{1}{5}x + \frac{6}{5} \]

Для представления уравнения в стандартной форме давайте умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от дробей:

\[ 5y = x + 6 \]

Приведём к виду \( Ax + By + C = 0 \):

\[ x - 5y + 6 = 0 \]

Таким образом, уравнение прямой \( AC \) в стандартной форме:

\[ x - 5y + 6 = 0 \]