Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Это задание относится к геометрии (раздел аналитической геометрии на плоскости). В частности, здесь нужно работать с уравнениями прямых, а также с понятием параллельных и перпендикулярных прямых.
Прямая \(AB\) проходит через точки \(A(4, -1)\) и \(B(0, 2)\). Формула для нахождения углового коэффициента \(k\) прямой, проходящей через две точки \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\), выглядит так:
\[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
Подставим координаты точек \(A(4, -1)\) и \(B(0, 2)\):
\[ k = \frac{2 - (-1)}{0 - 4} = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4} \]
Таким образом, наклон прямой \(AB\) равен \(k = -\frac{3}{4}\).
Уравнение прямой в общем виде можно записать как:
\[ y - y_1 = k(x - x_1) \]
Подставим координаты точки \(A(4, -1)\) и угловой коэффициент \(k = -\frac{3}{4}\):
\[ y - (-1) = -\frac{3}{4}(x - 4) \]
Упростим:
\[ y + 1 = -\frac{3}{4}x + 3 \]
Теперь приведём его к стандартному виду:
\[ y = -\frac{3}{4}x + 2 \]
Это уравнение прямой \(AB\):
\[ y = -\frac{3}{4}x + 2 \]
Прямая, параллельная прямой \(AB\), будет иметь такой же угловой коэффициент, то есть \(k = -\frac{3}{4}\). Используем уравнение прямой с известным угловым коэффициентом, проходящей через точку \(C(-1, 1)\):
\[ y - y_1 = k(x - x_1) \]
Подставим точку \(C(-1, 1)\) и \(k = -\frac{3}{4}\):
\[ y - 1 = -\frac{3}{4}(x - (-1)) \]
Упростим:
\[ y - 1 = -\frac{3}{4}(x + 1) \]
Раскроем скобки:
\[ y - 1 = -\frac{3}{4}x - \frac{3}{4} \]
Теперь выразим \(y\):
\[ y = -\frac{3}{4}x - \frac{3}{4} + 1 \]
\[ y = -\frac{3}{4}x + \frac{1}{4} \]
Это уравнение прямой, параллельной \(AB\) и проходящей через точку \(C(-1; 1)\):
\[ y = -\frac{3}{4}x + \frac{1}{4} \]
Для нахождения углового коэффициента прямой, перпендикулярной другой прямой, используем следующее правило: если две прямые перпендикулярны, то произведение их угловых коэффициентов равно \(-1\).
Наклон прямой \(AB\) равен \(k = -\frac{3}{4}\). Тогда для наклона \(k_\perp\) перпендикулярной прямой имеем:
\[ k \cdot k_\perp = -1 \]
\[ -\frac{3}{4} \cdot k_\perp = -1 \]
Найдём \(k_\perp\):
\[ k_\perp = \frac{4}{3} \]
Теперь найдём уравнение прямой, наклон которой \(k_\perp = \frac{4}{3}\), проходящей через точку \(C(-1, 1)\). Используем уравнение:
\[ y - y_1 = k(x - x_1) \]
Подставляем \(k = \frac{4}{3}\) и координаты точки \(C(-1, 1)\):
\[ y - 1 = \frac{4}{3}(x - (-1)) \]
Упростим:
\[ y - 1 = \frac{4}{3}(x + 1) \]
Раскроем скобки:
\[ y - 1 = \frac{4}{3}x + \frac{4}{3} \]
Теперь выражаем \(y\):
\[ y = \frac{4}{3}x + \frac{4}{3} + 1 \]
Приведём всё к одному знаменателю:
\[ y = \frac{4}{3}x + \frac{4}{3} + \frac{3}{3} \]
Это уравнение прямой, перпендикулярной \(AB\) и проходящей через точку \(C(-1, 1)\):
\[ y = \frac{4}{3}x + \frac{7}{3} \]