Предмет: Аналитическая геометрия (раздел: уравнения плоскости в пространстве).
Пошаговое решение:
Уравнение плоскости в пространстве можно записать в общем виде:
\[ Ax + By + Cz + D = 0, \]
где \( A, B, C \) — координаты нормального вектора, перпендикулярного плоскости.
Дано:
Три точки плоскости:
\[ A_1(3, -1, 3), \quad A_2(4, 5, -2), \quad A_3(2, 7, 1). \]
Алгоритм поиска уравнения плоскости:
- Найти два вектора, лежащих в плоскости:
\[ \vec{v_1} = \overrightarrow{A_1A_2}, \quad \vec{v_2} = \overrightarrow{A_1A_3}. \]
Вектора можно найти по координатам точек:
\[ \vec{v_1} = \overrightarrow{A_1A_2} = (4 - 3, \, 5 - (-1), \, -2 - 3) = (1, \, 6, \, -5), \]
\[ \vec{v_2} = \overrightarrow{A_1A_3} = (2 - 3, \, 7 - (-1), \, 1 - 3) = (-1, \, 8, \, -2). \]
- Найти нормальный вектор плоскости
(\(\vec{n}\)) как векторное произведение
\(\vec{v_1}\) и \(\vec{v_2}\):
Формула для векторного произведения:
\[ \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 6 & -5 \\ -1 & 8 & -2 \end{vmatrix}, \]
где \(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\) — орты осей \(x, y, z\).
Разложим определитель:
\[ \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \mathbf{i} \cdot \begin{vmatrix} 6 & -5 \\ 8 & -2 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \cdot \begin{vmatrix} 1 & -5 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 6 \\ -1 & 8 \end{vmatrix}. \]
Вычислим элементы:
\[ \begin{vmatrix} 6 & -5 \\ 8 & -2 \end{vmatrix} = (6)(-2) - (8)(-5) = -12 + 40 = 28, \]
\[ \begin{vmatrix} 1 & -5 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = (1)(-2) - (-1)(-5) = -2 - 5 = -7, \]
\[ \begin{vmatrix} 1 & 6 \\ -1 & 8 \end{vmatrix} = (1)(8) - (-1)(6) = 8 + 6 = 14. \]
Подставляем:
\[ \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \mathbf{i}(28) - \mathbf{j}(-7) + \mathbf{k}(14), \]
\[ \vec{v_1} \times \vec{v_2} = (28, \, 7, \, 14). \]
Нормальный вектор плоскости:
\[ \vec{n} = (28, \, 7, \, 14). \]
- Подставить нормальный вектор и точку
\[ A_1(x_1, y_1, z_1) \] в уравнение плоскости:
Уравнение плоскости имеет вид:
\[ A(x - x_1) + B(y - y_1) + C(z - z_1) = 0. \]
Подставим \(\vec{n} = (A, B, C) = (28, 7, 14)\) и \[A_1(3, -1, 3)\]:
\[ 28(x - 3) + 7(y - (-1)) + 14(z - 3) = 0. \]
Раскроем скобки:
\[ 28x - 84 + 7y + 7 + 14z - 42 = 0. \]
Сгруппируем:
\[ 28x + 7y + 14z - 119 = 0. \]
- Оптимизировать вид уравнения: Разделим на 7 для упрощения:
\[ 4x + y + 2z - 17 = 0. \]
Ответ:
Уравнение плоскости: \[ 4x + y + 2z - 17 = 0. \]
Объяснение:
- Определение векторов, лежащих в плоскости.
- Вычисление нормального вектора через векторное произведение.
- Подстановку нормального вектора и точки для составления уравнения плоскости.