Найти уравнение окружности с центром в A, для которой BC служит касательной

Данное задание относится к области аналитической геометрии, разделу, связанному с уравнениями окружностей и прямых.

Прямая, проходящая через точки B(1;-3) и C(5;0)

Сначала найдем уравнение прямой, проходящей через точки B(1;-3) и C(5;0). Уравнение прямой можно записать в форме y = kx + b, где k - угловой коэффициент. Найдем k, используя координаты точек B и C:

k = (y_2 - y_1) / (x_2 - x_1) = (0 - (-3)) / (5 - 1) = 3 / 4.

Теперь, чтобы найти b, подставим одну из точек, например, точку B(1;-3), в уравнение прямой:

-3 = (3/4) * 1 + b
-3 = 3/4 + b
b = -3 - 3/4 = -12/4 - 3/4 = -15/4.

Таким образом, уравнение прямой BC: y = (3/4)x - 15/4.

Уравнение окружности

Теперь перейдем к окружности. Окружность с центром в точке A(0;3) запишется в виде:

(x - 0)^2 + (y - 3)^2 = R^2, где R - радиус окружности.

По условию, прямая BC является касательной к этой окружности. Это значит, что расстояние от центра окружности A до прямой BC равно радиусу R.

Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле:

d = |Ax_1 + By_1 + C| / sqrt(A^2 + B^2), где A, B, C - коэффициенты прямой вида Ax + By + C = 0.

Преобразуем уравнение BC: 3x - 4y - 15 = 0.

Теперь найдем расстояние от центра A(0;3) до прямой:

d = |3*0 - 4*3 - 15| / sqrt(3^2 + (-4)^2)
d = |-12 - 15| / sqrt(9 + 16)
d = |-27| / sqrt(25)
d = 27 / 5.

Таким образом, радиус R равен 27/5.

Окончательное уравнение окружности

Уравнение окружности будет:

x^2 + (y - 3)^2 = (27/5)^2.

Упростим уравнение окружности:

(y - 3)^2 = y^2 - 6y + 9.
(27/5)^2 = 729/25.

Итак, окончательное уравнение окружности:

x^2 + y^2 - 6y + 9 = 729/25.