Найти: Уравнение общего перпендикуляра к этим прямым

Предмет: Аналитическая геометрия
Раздел: Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямых. Общий перпендикуляр.

Задание:

Даны две прямые в пространстве:

1. \[\frac{x - 1}{8} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z - 3}{1}\]
2. \[\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{1}\]

Найти:

1. Уравнение общего перпендикуляра к этим прямым.
2. Расстояние между прямыми.
3. Точки пересечения общего перпендикуляра с каждой из прямых.

Шаг 1: Представим прямые в параметрической форме

Первая прямая:

Пусть параметр [t] — тогда:

 \[ \begin{cases} x = 1 + 8t \ y = 2 + 4t \ z = 3 + t \end{cases} \Rightarrow \vec{r_1}(t) = (1, 2, 3) + t \cdot (8, 4, 1) \] 

Вторая прямая:

Пусть параметр [s] — тогда:

 \[ \begin{cases} x = 1 + 2s \ y = 0 + 2s \ z = -1 + s \end{cases} \Rightarrow \vec{r_2}(s) = (1, 0, -1) + s \cdot (2, 2, 1) \] 

Шаг 2: Направляющие векторы прямых

• Для первой прямой: \[\vec{a} = (8, 4, 1)\]
• Для второй прямой: \[\vec{b} = (2, 2, 1)\]

Шаг 3: Вектор между начальными точками прямых

Начальные точки:

• \[A = (1, 2, 3)\]
• \[B = (1, 0, -1)\]

Вектор \[\vec{AB} = \vec{r_B} - \vec{r_A} = (0, -2, -4)\]

Шаг 4: Вектор общего перпендикуляра

Вектор общего перпендикуляра \[\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}\] — векторное произведение направляющих векторов.

Посчитаем:

 \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ 8 & 4 & 1 \ 2 & 2 & 1 \ \end{vmatrix} = \vec{i}(4 \cdot 1 - 1 \cdot 2) - \vec{j}(8 \cdot 1 - 1 \cdot 2) + \vec{k}(8 \cdot 2 - 4 \cdot 2) = (4 - 2, -(8 - 2), 16 - 8) = (2, -6, 8) \] 

Итак, \[\vec{n} = (2, -6, 8)\] — направляющий вектор общего перпендикуляра.

Шаг 5: Расстояние между прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти по формуле:

 \[ \rho = \frac{|\vec{AB} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})|}{|\vec{a} \times \vec{b}|} \] 

Посчитаем числитель:

 \[ \vec{AB} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = (0, -2, -4) \cdot (2, -6, 8) = 0 \cdot 2 + (-2) \cdot (-6) + (-4) \cdot 8 = 0 + 12 - 32 = -20 \Rightarrow |\vec{AB} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})| = 20 \] 

Посчитаем модуль вектора \[\vec{n} = (2, -6, 8)\]:

 \[ |\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-6)^2 + 8^2} = \sqrt{4 + 36 + 64} = \sqrt{104} \] 

Итак,

 \[ \rho = \frac{20}{\sqrt{104}} = \frac{20}{2\sqrt{26}} = \frac{10}{\sqrt{26}} \approx 1.96 \] 

Шаг 6: Найдём уравнение общего перпендикуляра

Общий перпендикуляр проходит через такие точки \[P_1 = \vec{r_1}(t)\] и \[P_2 = \vec{r_2}(s)\], что вектор \[\vec{P_1P_2} = \vec{r_2}(s) - \vec{r_1}(t)\] параллелен вектору \[\vec{n} = (2, -6, 8)\].

То есть:

 \[ \vec{r_2}(s) - \vec{r_1}(t) = \lambda \cdot \vec{n} \] 

Подставим выражения для \[\vec{r_1}(t)\] и \[\vec{r_2}(s)\]:

 \[ (1 + 2s, 2s, -1 + s) - (1 + 8t, 2 + 4t, 3 + t) = (\lambda \cdot 2, \lambda \cdot (-6), \lambda \cdot 8) \] 

Вычтем:

 \[ (2s - 8t, 2s - 2 - 4t, -4 + s - t) = (2\lambda, -6\lambda, 8\lambda) \] 

Сравним по координатам:

1. \[2s - 8t = 2\lambda \Rightarrow s - 4t = \lambda \tag{1}\]
2. \[2s - 2 - 4t = -6\lambda \tag{2}\]
3. 
   

Подставим \[\lambda = s - 4t\] из (1) в (2):

 \[ 2s - 2 - 4t = -6(s - 4t) \Rightarrow 2s - 2 - 4t = -6s + 24t \Rightarrow 8s - 28t = 2 \tag{4} \] 

Из (3) подставим \[\lambda = s - 4t\]:

 \[ -4 + s - t = 8(s - 4t) \Rightarrow -4 + s - t = 8s - 32t \Rightarrow -7s + 31t = -4 \tag{5} \] 

Решим систему (4) и (5):

Умножим (4) на 7:

 \[ 56s - 196t = 14 \] 

Умножим (5) на 8:

 \[ -56s + 248t = -32 \] 

Сложим:

 \[ 0s + 52t = -18 \Rightarrow t = -\frac{9}{26} \] Подставим в (4): \[ 8s - 28 \cdot \left(-\frac{9}{26}\right) = 2 \Rightarrow 8s + \frac{252}{26} = 2 \Rightarrow 8s = 2 - \frac{126}{13} = \frac{26 - 126}{13} = -\frac{100}{13} \Rightarrow s = -\frac{100}{104} = -\frac{25}{26} \] 

Теперь найдём точки:

На первой прямой:

 \[ P_1 = \vec{r_1}(t) = (1 + 8t, 2 + 4t, 3 + t) = \left(1 - \frac{72}{26}, 2 - \frac{36}{26}, 3 - \frac{9}{26}\right) = \left(-\frac{46}{13}, \frac{16}{13}, \frac{69}{26}\right) \] 

На второй прямой:

 \[ P_2 = \vec{r_2}(s) = (1 + 2s, 2s, -1 + s) = \left(1 - \frac{50}{26}, -\frac{50}{26}, -1 - \frac{25}{26}\right) = \left(-\frac{24}{13}, -\frac{25}{13}, -\frac{51}{26}\right) \] 

Ответ:

1. Расстояние между прямыми:
   \[\rho = \frac{10}{\sqrt{26}} \approx 1.96\]

2. Уравнение общего перпендикуляра:
   Прямая проходит через точку \[P_1 = \left(-\frac{46}{13}, \frac{16}{13}, \frac{69}{26}\right)\] и имеет направляющий вектор \[(2, -6, 8)\].
   Параметрическое уравнение:

    \[ \begin{cases} x = -\frac{46}{13} + 2\lambda \ y = \frac{16}{13} - 6\lambda \ z = \frac{69}{26} + 8\lambda \end{cases} \] 

3. Точки пересечения общего перпендикуляра с прямыми:

   • С первой прямой: \[P_1 = \left(-\frac{46}{13}, \frac{16}{13}, \frac{69}{26}\right)\]
   • Со второй прямой: \[P_2 = \left(-\frac{24}{13}, -\frac{25}{13}, -\frac{51}{26}\right)\]