Найти уравнение медианы, проведённой через вершину С

Предмет: Геометрия
Раздел предмета: Аналитическая геометрия на плоскости

Задача: Найти уравнение медианы треугольника, проведённой через вершину ( C(-5; 3) ).

Решение:

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В данном случае медиана будет соединять вершину ( C(-5; 3) ) с серединой стороны ( AB ).

1. Найдём координаты середины стороны ( AB ):

Координаты середины отрезка ( AB ) вычисляются по формуле:

 M\left(x_m, y_m\right) = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right), 

где ( A(2; 2) ) и ( B(2; -5) ).

Подставим значения:

 x_m = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{2 + 2}{2} = 2, 

 y_m = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{2 + (-5)}{2} = \frac{-3}{2}. 

Таким образом, координаты середины ( M ) равны:

 M\left(2; -\frac{3}{2}\right). 

2. Найдём уравнение прямой, проходящей через точки ( C(-5; 3) ) и ( M(2; -\frac{3}{2}) ):

Уравнение прямой в общем виде записывается как:

 y - y_1 = k(x - x_1), 

где ( k ) — угловой коэффициент, а ( (x_1, y_1) ) — координаты одной из точек.

Угловой коэффициент ( k ) вычисляется по формуле:

 k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}. 

Подставим координаты точек ( C(-5; 3) ) и ( M(2; -\frac{3}{2}) ):

 k = \frac{-\frac{3}{2} - 3}{2 - (-5)} = \frac{-\frac{3}{2} - \frac{6}{2}}{2 + 5} = \frac{-\frac{9}{2}}{7} = -\frac{9}{14}. 

Теперь подставим угловой коэффициент ( k = -\frac{9}{14} ) и координаты точки ( C(-5; 3) ) в уравнение прямой:

 y - 3 = -\frac{9}{14}(x - (-5)). 

Упростим выражение:

 y - 3 = -\frac{9}{14}(x + 5). 

Раскроем скобки:

 y - 3 = -\frac{9}{14}x - \frac{45}{14}. 

Перенесём ( 3 ) в правую часть:

 y = -\frac{9}{14}x - \frac{45}{14} + 3. 

Приведём ( 3 ) к общему знаменателю:

 y = -\frac{9}{14}x - \frac{45}{14} + \frac{42}{14}. 

Сложим дроби:

 y = -\frac{9}{14}x - \frac{3}{14}. 

Итак, уравнение медианы:

 y = -\frac{9}{14}x - \frac{3}{14}. 

Или в общем виде:

 9x + 14y + 3 = 0. 

Ответ: Уравнение медианы, проведённой через вершину ( C ), имеет вид:

 9x + 14y + 3 = 0.