Найти уравнение и длину высоты АН

Предмет: Геометрия
Раздел: Аналитическая геометрия на плоскости

Дано:

Вершины треугольника:

• ( A(2, -1) ),
• ( B(5, 7) ),
• ( C(-3, -3) ).

Найти уравнение и длину высоты ( AH ), проведённой из вершины ( A ) на сторону ( BC ).

1. Уравнение стороны ( BC )

Сначала найдём уравнение прямой, проходящей через точки ( B(5, 7) ) и ( C(-3, -3) ).
Уравнение прямой задаётся формулой:

 \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}, 

где ((x_1, y_1)) и ((x_2, y_2)) — координаты точек.

Подставим координаты точек ( B(5, 7) ) и ( C(-3, -3) ):

 \frac{y - 7}{-3 - 7} = \frac{x - 5}{-3 - 5}. 

Упростим:

 \frac{y - 7}{-10} = \frac{x - 5}{-8}. 

Перепишем в общем виде:

 8(y - 7) = 10(x - 5). 

Раскроем скобки:

 8y - 56 = 10x - 50. 

Приведём к стандартному виду:

 10x - 8y - 6 = 0. 

Это уравнение стороны ( BC ).

2. Уравнение высоты ( AH )

Высота ( AH ) перпендикулярна стороне ( BC ). Коэффициент углового наклона прямой ( BC ) равен:

 k_{BC} = -\frac{A}{B} = -\frac{10}{-8} = \frac{5}{4}. 

Так как высота перпендикулярна стороне ( BC ), её угловой коэффициент будет:

 k_{AH} = -\frac{1}{k_{BC}} = -\frac{4}{5}. 

Уравнение прямой ( AH ), проходящей через точку ( A(2, -1) ), имеет вид:

 y - y_1 = k(x - x_1), 

где ( (x_1, y_1) = (2, -1) ), ( k = -\frac{4}{5} ). Подставим:

 y - (-1) = -\frac{4}{5}(x - 2). 

Упростим:

 y + 1 = -\frac{4}{5}x + \frac{8}{5}. 

Приведём к стандартному виду:

 5y + 5 = -4x + 8. 

 4x + 5y - 3 = 0. 

Это уравнение высоты ( AH ).

3. Точка пересечения ( H ) высоты с прямой ( BC )

Найдём точку пересечения прямых ( 10x - 8y - 6 = 0 ) (прямая ( BC )) и ( 4x + 5y - 3 = 0 ) (прямая ( AH )). Решим систему уравнений:

 \begin{cases} 10x - 8y - 6 = 0, \ 4x + 5y - 3 = 0. \end{cases} 

Умножим второе уравнение на 8, чтобы исключить ( y ):

 \begin{cases} 10x - 8y - 6 = 0, \ 32x + 40y - 24 = 0. \end{cases} 

Сложим уравнения:

 10x - 8y + 32x + 40y - 6 - 24 = 0, 

 42x + 32y - 30 = 0. 

Выразим ( y ) через ( x ) из первого уравнения:

 10x - 8y = 6, \quad -8y = -10x + 6, \quad y = \frac{10x - 6}{8} = \frac{5x - 3}{4}. 

Подставим в уравнение ( 4x + 5y - 3 = 0 ):

 4x + 5\left(\frac{5x - 3}{4}\right) - 3 = 0. 

Упростим:

 4x + \frac{25x - 15}{4} - 3 = 0. 

Приведём к общему знаменателю:

 \frac{16x}{4} + \frac{25x - 15}{4} - \frac{12}{4} = 0. 

 \frac{16x + 25x - 15 - 12}{4} = 0. 

 \frac{41x - 27}{4} = 0. 

 41x - 27 = 0, \quad x = \frac{27}{41}. 

Найдём ( y ):

 y = \frac{5x - 3}{4} = \frac{5 \cdot \frac{27}{41} - 3}{4} = \frac{\frac{135}{41} - \frac{123}{41}}{4} = \frac{\frac{12}{41}}{4} = \frac{3}{41}. 

Итак, координаты точки ( H ):

 H\left(\frac{27}{41}, \frac{3}{41}\right). 

4. Длина высоты ( AH )

Длина высоты ( AH ) вычисляется по формуле расстояния между точками ( A(2, -1) ) и ( H\left(\frac{27}{41}, \frac{3}{41}\right) ):

 AH = \sqrt{\left(x_2 - x_1\right)^2 + \left(y_2 - y_1\right)^2}. 

Подставим значения:

 AH = \sqrt{\left(2 - \frac{27}{41}\right)^2 + \left(-1 - \frac{3}{41}\right)^2}. 

Упростим:

 2 - \frac{27}{41} = \frac{82}{41} - \frac{27}{41} = \frac{55}{41}, 

 -1 - \frac{3}{41} = \frac{-41}{41} - \frac{3}{41} = \frac{-44}{41}. 

Подставим:

 AH = \sqrt{\left(\frac{55}{41}\right)^2 + \left(\frac{-44}{41}\right)^2}. 

 AH = \sqrt{\frac{3025}{1681} + \frac{1936}{1681}} = \sqrt{\frac{4961}{1681}} = \frac{\sqrt{4961}}{41}. 

Ответ:

1. Уравнение высоты ( AH ):
   4x + 5y - 3 = 0.

2. Длина высоты ( AH ):
   AH = \frac{\sqrt{4961}}{41}.