Найти уравнение диагонали, не находя координат вершины

Предмет: Геометрия

Раздел: Аналитическая геометрия на плоскости

Дано три последовательные вершины параллелограмма: \( A(3; -2) \), \( B(1; -1) \), \( C(0; 5) \). Нужно найти уравнение диагонали \( BD \), не находя координат вершины \( D \).

Пошаговое объяснение:

1. Свойство диагоналей параллелограмма: В параллелограмме диагонали пересекаются и делятся пополам. Это значит, что середина диагонали \( AC \) будет совпадать с серединой диагонали \( BD \). Мы воспользуемся этим свойством для составления уравнения.

2. Находим середину отрезка \( AC \) (по формуле координат середины отрезка):

Формула для координат середины: \[ M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2} \right), \] где \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) — координаты концов отрезка.

Для \( AC \): \( A(3; -2) \), \( C(0; 5) \). Считаем:

\[ M_{AC} = \left( \frac{3 + 0}{2}; \frac{-2 + 5}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}; \frac{3}{2} \right). \]

Середина отрезка \( AC \): \( M \left( \frac{3}{2}; \frac{3}{2} \right) \).

3. Составляем уравнение прямой \( BD \):

Векторное уравнение прямой \( BD \): Прямая \( BD \) проходит через точку \( B(1; -1) \) и середину \( M \), найденную выше.

Уравнение прямой можно записать в общем виде:

\[ y - y_1 = k(x - x_1), \] где: \[ k = \text{наклон прямой (коэффициент угла наклона)} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}. \]

Подставляем координаты:

\( B(1; -1) \), \( M \left( \frac{3}{2}; \frac{3}{2} \right) \).

Вычисляем наклон \( k \):

\[ k = \frac{\frac{3}{2} - (-1)}{\frac{3}{2} - 1}. \]

Считаем числитель и знаменатель:

\[ k = \frac{\frac{3}{2} + 1}{\frac{3}{2} - 1} = \frac{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}{\frac{3}{2} - \frac{2}{2}} = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{1}{2}} = 5. \]

Наклон прямой \( BD \): \( k = 5 \).

4. Уравнение прямой \( BD \):

Уравнение с наклоном \( k \) и точкой \( B(1; -1) \):

\[ y - (-1) = 5(x - 1). \]

Преобразуем:

\[ y + 1 = 5(x - 1). \]

\[ y + 1 = 5x - 5. \]

\[ y = 5x - 6. \]

Ответ:

Уравнение диагонали \( BD \): \[ y = 5x - 6. \]