Найти угол, под которым пересекаются кривые

Предмет: Математика

Раздел: Аналитическая геометрия и дифференциальное исчисление

Рассмотрим задачу 10:

Найти угол, под которым пересекаются кривые $\text{(}y=\arcsin x\text{)}$ и $\text{(}y=\arccos x\text{)}$.

Шаг 1: Формула для угла пересечения двух кривых

Угол пересечения двух кривых задается их производными в точке пересечения. Если тангенсы углов касательных для кривых равны $\text{(}{k}_1\text{)}$ и $\text{(}{k}_2\text{)}$, то угол $\text{(}\phi \text{)}$ между кривыми вычисляется по формуле:

$\text{[}\tan \phi =\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1{k}_2}\right|\text{]}$.

Шаг 2: Найдем точку пересечения кривых

$\text{[}y=\arcsin x\text{и}y=\arccos x.\text{]}$

Эти функции равны в точке, где:

$\text{[}\arcsin x=\arccos x.\text{]}$

Свойство аркфункций:

$\text{[}\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}.\text{]}$

Таким образом, точка пересечения:

$\text{[}x=\frac{\sqrt{2}}{2}.\text{]}$

Шаг 3: Найдем производные функций

Производная функции $\text{(}{y}_1=\arcsin x\text{)}$:

$\text{[}{y}_1^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.\text{]}$

Производная функции $\text{(}{y}_2=\arccos x\text{)}$:

$\text{[}{y}_2^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.\text{]}$

Шаг 4: Производные в точке пересечения $\text{(}x=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{)}$

Вычисляем производные $\text{(}{y}_1^{\prime }\text{)}$ и $\text{(}{y}_2^{\prime }\text{)}$:

$\text{[}{y}_1^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}}}=\sqrt{2}.\text{]}$

$\text{[}{y}_2^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}}=-\sqrt{2}.\text{]}$

Шаг 5: Угол пересечения

Подставляем $\text{(}{k}_1=\sqrt{2}\text{)}$ и $\text{(}{k}_2=-\sqrt{2}\text{)}$ в формулу:

$\text{[}\tan \phi =\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1{k}_2}\right|.\text{]}$

$\text{[}\tan \phi =\left|\frac{\sqrt{2}-(-\sqrt{2})}{1+\sqrt{2}\cdot (-\sqrt{2})}\right|=\left|\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}}{1-2}\right|=\left|\frac{2\sqrt{2}}{-1}\right|=2\sqrt{2}.\text{]}$

Таким образом:

Ответ:

Угол пересечения кривых $\text{(}y=\arcsin x\text{)}$ и $\text{(}y=\arccos x\text{)}$ равен:

$\text{[}\phi =\arctan (2\sqrt{2}).\text{]}$