Найти угол, под которым пересекаются кривые

Предмет: Математика

Раздел: Аналитическая геометрия и дифференциальное исчисление

Рассмотрим задачу 10:

Найти угол, под которым пересекаются кривые \(y = \arcsin x\) и \(y = \arccos x\).

Шаг 1: Формула для угла пересечения двух кривых

Угол пересечения двух кривых задается их производными в точке пересечения. Если тангенсы углов касательных для кривых равны \(k_1\) и \(k_2\), то угол \(\varphi\) между кривыми вычисляется по формуле:

\[\tan \varphi = \left| \frac{k_1 - k_2}{1 + k_1 k_2} \right|\].

Шаг 2: Найдем точку пересечения кривых

\[y = \arcsin x \quad \text{и} \quad y = \arccos x.\]

Эти функции равны в точке, где:

\[\arcsin x = \arccos x.\]

Свойство аркфункций:

\[\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}.\]

Таким образом, точка пересечения:

\[x = \frac{\sqrt{2}}{2}.\]

Шаг 3: Найдем производные функций

Производная функции \(y_1 = \arcsin x\):

\[y_1' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}.\]

Производная функции \(y_2 = \arccos x\):

\[y_2' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}.\]

Шаг 4: Производные в точке пересечения \(x = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Вычисляем производные \(y_1'\) и \(y_2'\):

\[y_1' = \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}}} = \sqrt{2}.\]

\[y_2' = -\frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}} = -\sqrt{2}.\]

Шаг 5: Угол пересечения

Подставляем \(k_1 = \sqrt{2}\) и \(k_2 = -\sqrt{2}\) в формулу:

\[\tan \varphi = \left| \frac{k_1 - k_2}{1 + k_1 k_2} \right|.\]

\[\tan \varphi = \left| \frac{\sqrt{2} - (-\sqrt{2})}{1 + \sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2})} \right| = \left| \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{1 - 2} \right| = \left| \frac{2\sqrt{2}}{-1} \right| = 2\sqrt{2}.\]

Таким образом:

Ответ:

Угол пересечения кривых \(y = \arcsin x\) и \(y = \arccos x\) равен:

\[\varphi = \arctan(2\sqrt{2}).\]