Найти угол, образованный прямой и прямой, проходящей через точки

Примем задание, определим предмет и раздел, решим его и подробно объясним.

Определение предмета и раздела:

• Предмет: Геометрия (аналитическая геометрия).
• Раздел: Углы между прямыми на плоскости.

Задача:

Найти угол, образованный прямой \( 2x - 3y + 5 = 0 \) и прямой, проходящей через точки \( A(-2; 3) \) и \( B(3; -1) \).

Решение:

Шаг 1. Определим угловой коэффициент первой прямой (\( k_1 \)).

Уравнение прямой: \[ 2x - 3y + 5 = 0 \]

Приведём уравнение к виду \( y = kx + b \) (явный вид прямой, где \( k \) – угловой коэффициент):

\[ -3y = -2x - 5 \quad \implies \quad y = \frac{2}{3}x - \frac{5}{3}. \]

Значит, угловой коэффициент первой прямой:

\[ k_1 = \frac{2}{3}. \]

Шаг 2. Найдём угловой коэффициент второй прямой (\( k_2 \)).

Прямая проходит через точки \( A(-2; 3) \) и \( B(3; -1) \).

Угловой коэффициент (наклон) между двумя точками можно найти по формуле:

\[ k_2 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}. \]

Подставляем координаты точек \( A(-2; 3) \) и \( B(3; -1) \):

\[ k_2 = \frac{-1 - 3}{3 - (-2)} = \frac{-4}{5}. \]

Значит, угловой коэффициент второй прямой:

\[ k_2 = -\frac{4}{5}. \]

Шаг 3. Формула для угла между двумя прямыми.

Зная угловые коэффициенты \( k_1 \) и \( k_2 \), угол (\( \theta \)) между двумя прямыми находится по формуле:

\[ \tan\theta = \left| \frac{k_1 - k_2}{1 + k_1k_2} \right|. \]

Подставляем значения \( k_1 = \frac{2}{3} \) и \( k_2 = -\frac{4}{5} \):

1. Найдём числитель \( k_1 - k_2 \):

   \[ k_1 - k_2 = \frac{2}{3} - \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{2}{3} + \frac{4}{5}. \]

   Приводим к общему знаменателю (наименьший общий знаменатель \( 15 \)):

   \[ \frac{2}{3} + \frac{4}{5} = \frac{10}{15} + \frac{12}{15} = \frac{22}{15}. \]

2. Найдём знаменатель \( 1 + k_1k_2 \):

   \[ k_1k_2 = \left(\frac{2}{3}\right)\left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{8}{15}. \]

   \[ 1 + k_1k_2 = 1 - \frac{8}{15} = \frac{15}{15} - \frac{8}{15} = \frac{7}{15}. \]

3. Подставляем всё в формулу для тангенса:

   \[ \tan\theta = \left| \frac{\frac{22}{15}}{\frac{7}{15}} \right| = \left| \frac{22}{7} \right|. \]

Шаг 4. Найдём угол (в градусах).

Используем арктангенс:

\[ \theta = \arctan\left| \frac{22}{7} \right|. \]

Приблизительное значение можно найти с помощью калькулятора:

\[ \theta \approx \arctan(3.142) \approx 72.9^\circ. \]

Ответ:

Угол между прямыми примерно равен 72.9°.