Найти угол между рёбрами пирамиды используя координаты вершин пирамиды

Предмет: Геометрия

Раздел: Аналитическая геометрия в пространстве

Нам необходимо найти угол между рёбрами пирамиды ( BA ) и ( BC ), используя координаты вершин пирамиды. Для этого применим метод векторного произведения и скалярного произведения векторов.

Шаг 1: Найдём векторы ( \vec{BA} ) и ( \vec{BC} )

Вектор ( \vec{BA} ) находится как разность координат точки ( A ) и точки ( B ):
 \vec{BA} = A - B = (0 - (-2); -1 - (-3); -6 - (-2)) = (2; 2; -4) 

Вектор ( \vec{BC} ) находится как разность координат точки ( C ) и точки ( B ):
 \vec{BC} = C - B = (-1 - (-2); -2 - (-3); 1 - (-2)) = (1; 1; 3) 

Шаг 2: Формула для угла между векторами

Угол между векторами ( \vec{BA} ) и ( \vec{BC} ) можно найти через скалярное произведение:
 \cos \theta = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| |\vec{BC}|} 

Где:

• ( \vec{BA} \cdot \vec{BC} ) — скалярное произведение векторов.
• ( |\vec{BA}| ) и ( |\vec{BC}| ) — длины векторов.

Шаг 3: Найдём скалярное произведение ( \vec{BA} \cdot \vec{BC} )

Формула скалярного произведения:
 \vec{BA} \cdot \vec{BC} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 

Подставим координаты:
 \vec{BA} \cdot \vec{BC} = (2)(1) + (2)(1) + (-4)(3) = 2 + 2 - 12 = -8 

Шаг 4: Найдём длины векторов ( |\vec{BA}| ) и ( |\vec{BC}| )

Длина вектора вычисляется по формуле:
 |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} 

Для ( \vec{BA} = (2; 2; -4) ):
 |\vec{BA}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} 

Для ( \vec{BC} = (1; 1; 3) ):
 |\vec{BC}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 1 + 9} = \sqrt{11} 

Шаг 5: Найдём ( \cos \theta )

Подставим значения в формулу:
 \cos \theta = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| |\vec{BC}|} = \frac{-8}{(2\sqrt{6})(\sqrt{11})} = \frac{-8}{2\sqrt{66}} = \frac{-4}{\sqrt{66}} 

Шаг 6: Найдём угол ( \theta )

Чтобы найти угол, применим арккосинус:
 \theta = \arccos \left( \frac{-4}{\sqrt{66}} \right) 

Это и будет окончательный ответ. Если необходимо, можно вычислить значение угла в градусах, используя калькулятор.