Найти угол между рёбрами

Предмет: Математика

Раздел: Геометрия в пространстве

1. Длина ребра A₁A₂

Координаты: \( A₁(1, 2, 3), \, A₂(-1, 0, 5) \)

Формула длины отрезка (расстояния между точками): \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]

Подставим: \[ d(A₁A₂) = \sqrt{((-1) - 1)^2 + (0 - 2)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \]

Ответ: длина ребра \( A₁A₂ \) равна \( 2\sqrt{3} \).

2. Угол между рёбрами \( A₁A₂ \) и \( A₁A₄ \)

Формула косинуса угла между двумя векторами: \[ \cos\phi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left|\vec{a}\right| \cdot \left|\vec{b}\right|} \]

Вектора: \[ \vec{A₁A₂} = (-2, -2, 2), \quad \vec{A₁A₄} = (2, 3, -1) \]

Скалярное произведение: \[ \vec{A₁A₂} \cdot \vec{A₁A₄} = (-2)(2) + (-2)(3) + (2)(-1) = -4 - 6 - 2 = -12 \]

Длины векторов: \[ \left|\vec{A₁A₂}\right| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}, \left|\vec{A₁A₄}\right| = \sqrt{(2)^2 + (3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} \]

Косинус угла: \[ \cos\phi = \frac{-12}{(2\sqrt{3})(\sqrt{14})} = \frac{-12}{2\sqrt{42}} = \frac{-6}{\sqrt{42}} = -\frac{\sqrt{42}}{7} \]

Ответ: угол между рёбрами \( A₁A₂ \) и \( A₁A₄ \) задаётся косинусом \( -\frac{\sqrt{42}}{7} \).

3. Угол между ребром \( A₁A₄ \) и гранью \( A₁A₂A₃ \)

Для нахождения угла между прямой (ребром) и плоскостью нужно вычислить угол между вектором ребра \( A₁A₄ \) и нормалью плоскости.

3.1. Уравнение плоскости \( A₁A₂A₃ \)

Вектора: \[ \vec{A₁A₂} = (-2, -2, 2), \quad \vec{A₁A₃} = (-2, -1, -2) \]

Нормальный вектор \( \vec{n} \): \[ \vec{n} = \vec{A₁A₂} \times \vec{A₁A₃} \]

Вычислим векторное произведение: \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & -2 & 2 \\ -2 & -1 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i} \cdot ((-2)(-2) - (2)(-1)) - \mathbf{j} \cdot ((-2)(-2) - (2)(-2)) + \mathbf{k} \cdot ((-2)(-1) - (-2)(-2)) \]

\[ \vec{n} = \mathbf{i} \cdot (4 + 2) - \mathbf{j} \cdot (4 - 4) + \mathbf{k} \cdot (2 - 4) \]

\[ \vec{n} = (6, 0, -2) \]

Уравнение плоскости: \[ 6(x - 1) + 0(y - 2) - 2(z - 3) = 0 \quad \Rightarrow \quad 6x - 2z = 0 \]

3.2. Угол между \( A₁A₄ \) и плоскостью

\[ \sin\theta = \frac{\left|\vec{A₁A₄} \cdot \vec{n}\right|}{\left|\vec{A₁A₄}\right| \cdot \left|\vec{n}\right|} \]

Вектор \( A₁A₄ = (2, 3, -1) \), нормальный вектор \( \vec{n} = (6, 0, -2) \).

Скалярное произведение: \[ \vec{A₁A₄} \cdot \vec{n} = (2)(6) + (3)(0) + (-1)(-2) = 12 + 0 + 2 = 14 \]

Длина нормального вектора: \[ \left|\vec{n}\right| = \sqrt{(6)^2 + (0)^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \]

Подставим: \[ \sin\theta = \frac{\left|14\right|}{\sqrt{14} \cdot 2\sqrt{10}} = \frac{14}{2\sqrt{140}} = \frac{7}{\sqrt{140}} = \frac{\sqrt{140}}{20} \]

Ответ: угол между ребром \( A₁A₄ \) и плоскостью \( A₁A₂A₃ \) задаётся синусом \( \frac{\sqrt{140}}{20} \).