Найти угол между ребрами

Анализ задачи: Предмет: аналитическая геометрия Раздел: векторы, объем многогранников

Имеем пирамиду с вершинами \( A_1(7, 2, 4) \), \( A_2(7, -1, -2) \), \( A_3(3, 3, 1) \), \( A_4(-4, 2, 1) \). Задача состоит из трёх частей.

Часть а) Найти угол между ребрами \( A_1A_2 \) и \( A_1A_4 \)

1. Определим векторы, соответствующие ребрам:

• Вектор \( \overrightarrow{A_1A_2} = A_2 - A_1 = (7, -1, -2) - (7, 2, 4) = (0, -3, -6) \)
• Вектор \( \overrightarrow{A_1A_4} = A_4 - A_1 = (-4, 2, 1) - (7, 2, 4) = (-11, 0, -3) \)

Теперь найдём угол между этими векторами с использованием скалярного произведения.

2. Формула скалярного произведения:

\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |a| \cdot |b| \cdot \cos(\theta) \]

Из формулы выразим \(\cos(\theta)\):

\[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|a| \cdot |b|} \]

3. Скалярное произведение векторов:

\[ \overrightarrow{A_1A_2} \cdot \overrightarrow{A_1A_4} = (0, -3, -6) \cdot (-11, 0, -3) = (0 \cdot -11) + (-3 \cdot 0) + (-6 \cdot -3) = 18 \]

4. Найдём длины (модули) векторов:

• \( |\overrightarrow{A_1A_2}| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{0 + 9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \)
• \( |\overrightarrow{A_1A_4}| = \sqrt{(-11)^2 + 0^2 + (-3)^2} = \sqrt{121 + 0 + 9} = \sqrt{130} \)

5. Наконец, находим угол: