Найти угол между прямой x-2/1=y+1/2=z-3/3 и плоскостью треугольника ABC, если A(0;0;2), B(2;1;2), C(0;2;4)

Предмет: Аналитическая геометрия

Раздел: Углы между прямыми и плоскостями

Задание: Найти угол между прямой ( \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-3}{3} ) и плоскостью треугольника ( \Delta ABC ), если ( A(0;0;2) ), ( B(2;1;2) ), ( C(0;2;4) ).

1. Записываем направляющий вектор прямой
   Прямая задана в параметрическом виде: [ \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-3}{3}. ] Направляющий вектор прямой: [ \vec{d} = (1, 2, 3). ]

2. Находим уравнение плоскости ( \Delta ABC )
   Точки ( A(0;0;2) ), ( B(2;1;2) ), ( C(0;2;4) ) лежат в плоскости. Чтобы составить уравнение плоскости, найдем два направляющих вектора: [ \vec{AB} = (2-0, 1-0, 2-2) = (2, 1, 0), ] [ \vec{AC} = (0-0, 2-0, 4-2) = (0, 2, 2). ]

Вектор нормали к плоскости ( \vec{n} ) находится как векторное произведение ( \vec{AB} \times \vec{AC} ): [ \vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ 2 & 1 & 0 \ 0 & 2 & 2 \end{vmatrix} = \vec{i} \cdot (1 \cdot 2 - 0 \cdot 2) - \vec{j} \cdot (2 \cdot 2 - 0 \cdot 0) + \vec{k} \cdot (2 \cdot 2 - 0 \cdot 1), ] [ \vec{n} = \vec{i} \cdot 2 - \vec{j} \cdot 4 + \vec{k} \cdot 4, ] [ \vec{n} = (2, -4, 4). ]

Уравнение плоскости имеет вид: [ 2x - 4y + 4z + D = 0. ] Подставляем координаты точки ( A(0;0;2) ): [ 2 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 4 \cdot 2 + D = 0, ] [ D = -8. ] Итак, уравнение плоскости: [ 2x - 4y + 4z - 8 = 0. ]

3. Записываем формулу для нахождения угла между прямой и плоскостью
   Косинус угла между прямой и плоскостью определяется формулой: [ \cos \theta = \frac{|\vec{d} \cdot \vec{n}|}{|\vec{d}| \cdot |\vec{n}|}, ] где:

• ( \vec{d} = (1, 2, 3) ) — направляющий вектор прямой,
• ( \vec{n} = (2, -4, 4) ) — нормальный вектор к плоскости,
• ( |\vec{d}| ) и ( |\vec{n}| ) — длины векторов.

4. Вычисляем скалярное произведение ( \vec{d} \cdot \vec{n} )
   [ \vec{d} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-4) + 3 \cdot 4, ] [ \vec{d} \cdot \vec{n} = 2 - 8 + 12 = 6. ]

5. Находим длины векторов ( |\vec{d}| ) и ( |\vec{n}| )
   [ |\vec{d}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}, ] [ |\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6. ]

6. Вычисляем ( \cos \theta )
   [ \cos \theta = \frac{|6|}{\sqrt{14} \cdot 6} = \frac{6}{6\sqrt{14}} = \frac{1}{\sqrt{14}}. ]

7. Находим синус угла ( \varphi ), где ( \varphi ) — угол между прямой и плоскостью Угол между прямой и плоскостью вычисляется как: [ \sin \varphi = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{14}}\right)^2}, ] [ \sin \varphi = \sqrt{1 - \frac{1}{14}} = \sqrt{\frac{14}{14} - \frac{1}{14}} = \sqrt{\frac{13}{14}}. ]

Ответ: Угол между прямой и плоскостью ( \sin \varphi = \sqrt{\frac{13}{14}} ).