Найти угол между двумя плоскостями

Предмет: Аналитическая геометрия

Раздел: Углы между плоскостями

Шаг 1: Понимание задачи

Задание просит найти угол между двумя плоскостями:

1. Первая плоскость задается тремя точками: \( A_1 (2; -3; -1) \), \( A_2 (5; 4; 2) \), и \( A_3 (-1; -4; 3) \).
2. Вторая плоскость проходит через прямую, определенную точкой \( A_4 (-5; 1; 0) \) и точкой \( M \), которая является серединой отрезка \( A_1A_2 \), а также через точку \( A_3 \).

Шаг 2: Найдем уравнение первой плоскости через точки \( A_1 \), \( A_2 \), \( A_3 \)

Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через три точки \( A_1 \), \( A_2 \), и \( A_3 \), нам нужно найти нормальный вектор этой плоскости, который можно получить с помощью векторного произведения двух направляющих векторов, лежащих в плоскости.

1. Найдем вектор \( \overrightarrow{A_1A_2} \): \[ \overrightarrow{A_1A_2} = (5 - 2; 4 + 3; 2 + 1) = (3; 7; 3) \]
2. Найдем вектор \( \overrightarrow{A_1A_3} \): \[ \overrightarrow{A_1A_3} = (-1 - 2; -4 + 3; 3 + 1) = (-3; -1; 4) \]

Теперь найдем их векторное произведение:

\[ \overrightarrow{n_1} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 7 & 3 \\ -3 & -1 & 4 \end{vmatrix} \]

Рассчитаем этот детерминант:

\[ \overrightarrow{n_1} = \mathbf{i} \cdot (7 \cdot 4 - 3 \cdot (-1)) - \mathbf{j} \cdot (3 \cdot 4 - 3 \cdot (-3)) + \mathbf{k} \cdot (3 \cdot (-1) - 7 \cdot (-3)) \]

\[ \overrightarrow{n_1} = \mathbf{i} \cdot (28 + 3) - \mathbf{j} \cdot (12 + 9) + \mathbf{k} \cdot (-3 + 21) \]

\[ \overrightarrow{n_1} = \mathbf{i} \cdot (31) - \mathbf{j} \cdot (21) + \mathbf{k} \cdot (18) \]

\[ \overrightarrow{n_1} = (31; -21; 18) \]

Это нормальный вектор первой плоскости.

Шаг 3: Найдем уравнение второй плоскости

Для этого нужно сначала найти точку \( M \), которая является серединой отрезка \( A_1A_2 \).

1. Координаты \( M \), середины отрезка \( A_1A_2 \): \[ M_x = \frac{2 + 5}{2} = 3.5, \quad M_y = \frac{-3 + 4}{2} = 0.5, \quad M_z = \frac{-1 + 2}{2} = 0.5 \]
   То есть, \( M(3.5; 0.5; 0.5) \).
2. Теперь нам нужно найти вектор, параллельный плоскости 2.

Вектор \( \overrightarrow{A_4M} \): \[ \overrightarrow{A_4M} = (3.5 - (-5); 0.5 - 1; 0.5 - 0) = (8.5; -0.5; 0.5) \]

Также плоскость содержит точку \( A_3 (-1; -4; 3) \), поэтому нам нужен еще один вектор, задающий направление в плоскости. Это вектор \( \overrightarrow{A_4A_3} \): \[ \overrightarrow{A_4A_3} = (-1 - (-5); -4 - 1; 3 - 0) = (4; -5; 3) \]

Теперь найдем векторное произведение \( \overrightarrow{A_4M} \times \overrightarrow{A_4A_3} \), которое и будет нормальным вектором второй плоскости \( \overrightarrow{n_2} \):

\[ \overrightarrow{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 8.5 & -0.5 & 0.5 \\ 4 & -5 & 3 \end{vmatrix} \]

Рассчитаем детерминант:

\[ \overrightarrow{n_2} = \mathbf{i} \cdot \left(-0.5 \cdot 3 - 0.5 \cdot (-5)\right) - \mathbf{j} \cdot \left(8.5 \cdot 3 - 0.5 \cdot 4\right) + \mathbf{k} \cdot \left(8.5 \cdot (-5) - (-0.5) \cdot 4\right) \]

\[ \overrightarrow{n_2} = \mathbf{i} \cdot (-1.5 + 2.5) - \mathbf{j} \cdot (25.5 - 2) + \mathbf{k} \cdot (-42.5 + 2) \]

\[ \overrightarrow{n_2} = \mathbf{i} \cdot (1) - \mathbf{j} \cdot (23.5) + \mathbf{k} \cdot (-40.5) \]

\[ \overrightarrow{n_2} = (1; -23.5; -40.5) \]

Шаг 4: Найдем угол между плоскостями

Теперь у нас есть два нормальных вектора:

• \( \overrightarrow{n_1} = (31; -21; 18) \)
• \( \overrightarrow{n_2} = (1; -23.5; -40.5) \)

Формула для угла \( \theta \) между двумя плоскостями через нормальные векторы:

\[ \cos \theta = \frac{|\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}| |\overrightarrow{n_2}|} \]

1. Скалярное произведение \( \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} \): \[ \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = 31 \cdot 1 + (-21) \cdot (-23.5) + 18 \cdot (-40.5) \]
   \[ = 31 + 493.5 - 729 = -204.5 \]
2. Длины векторов \( \overrightarrow{n_1} \) и \( \overrightarrow{n_2} \): \[ |\overrightarrow{n_1}| = \sqrt{31^2 + (-21)^2 + 18^2} = \sqrt{961 + 441 + 324} = \sqrt{1726} \]
   \[ |\overrightarrow{n_2}| = \sqrt{1^2 + (-23.5)^2 + (-40.5)^2} = \sqrt{1 + 552.25 + 1640.25} = \sqrt{2193.5} \]

Теперь можем найти косинус угла:

\[ \cos \theta = \frac{| -204.5 |}{\sqrt{1726} \cdot \sqrt{2193.5}} = \frac{204.5}{\sqrt{3787689}} \approx \frac{204.5}{1946.47} \approx 0.105 \]

Угол \( \theta \): \[ \theta \approx \arccos(0.105) \approx 84^\circ \]

Ответ

Угол между плоскостями приблизительно равен \( 84^\circ \).