Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах

Определение предмета: Задание относится к аналитической геометрии, которая изучается в рамках математики.

Раздел: Векторы в пространстве.

Условие задачи:

Необходимо найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах: \[ \mathbf{a} = 7i - 6j - 2k \quad \text{и} \quad \mathbf{b} = -3i + 4j - 2k. \] Для этого вычислим векторы диагоналей и используем скалярное произведение.

Шаг 1. Формулы диагоналей параллелограмма

Диагонали параллелограмма можно получить как суммы и разности векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\):

\[ \mathbf{d_1} = \mathbf{a} + \mathbf{b}, \]

\[ \mathbf{d_2} = \mathbf{a} - \mathbf{b}. \]

Шаг 2. Вычисление векторов диагоналей

Сначала найдем \(\mathbf{d_1}\) и \(\mathbf{d_2}\):

\[ \mathbf{d_1} = (7 - 3)i + (-6 + 4)j + (-2 - 2)k = 4i - 2j - 4k, \]

\[ \mathbf{d_2} = (7 + 3)i + (-6 - 4)j + (-2 - (-2))k = 10i - 10j + 0k = 10i - 10j. \]

Итак: \[ \mathbf{d_1} = 4i - 2j - 4k, \quad \mathbf{d_2} = 10i - 10j. \]

Шаг 3. Формула угла между векторами

Угол \(\theta\) между векторами определяется через скалярное произведение:

\[ \cos{\theta} = \frac{\mathbf{d_1} \cdot \mathbf{d_2}}{|\mathbf{d_1}| \cdot |\mathbf{d_2}|}, \]

где:

• \(\mathbf{d_1} \cdot \mathbf{d_2}\) — скалярное произведение,
• \(|\mathbf{d_1}|\) и \(|\mathbf{d_2}|\) — длины векторов.

Шаг 4. Скалярное произведение \(\mathbf{d_1} \cdot \mathbf{d_2}\)

Определим скалярное произведение:

\[ \mathbf{d_1} \cdot \mathbf{d_2} = (4)(10) + (-2)(-10) + (-4)(0) = 40 + 20 + 0 = 60. \]

Шаг 5. Длины векторов

Найдем длины \(|\mathbf{d_1}|\) и \(|\mathbf{d_2}|\):

\[ |\mathbf{d_1}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6, \]

\[ |\mathbf{d_2}| = \sqrt{10^2 + (-10)^2 + 0^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}. \]

Шаг 6. Выражение для \(\cos{\theta}\)

Подставляем значения:

\[ \cos{\theta} = \frac{\mathbf{d_1} \cdot \mathbf{d_2}}{|\mathbf{d_1}| \cdot |\mathbf{d_2}|} = \frac{60}{6 \cdot 10\sqrt{2}} = \frac{60}{60\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}. \]

Шаг 7. Угол \(\theta\)

\[ \cos{\theta} = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies \theta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^\circ. \]

Ответ:

Угол между диагоналями параллелограмма равен \(45^\circ\).