Найти угол между боковыми смежными гранями пирамиды

Определение предмета и раздела предмета:

Это задача из геометрии, причем ее можно отнести к разделу, связанному с многогранниками и углами между гранями.

Постановка задачи:

У нас есть пирамида, боковые смежные грани которой надо найти угол между ними, и также нужно найти угол наклона боковых граней к основанию пирамиды.

Дано:

• Основанием пирамиды является одна из граней куба.
• Вершина пирамиды находится в центре противоположной грани куба.

Что требуется найти:

1. Угол между боковыми смежными гранями пирамиды.
2. Угол наклона боковых граней к основанию пирамиды.

1. Разбор задачи и выбор удобной системы координат:

Предположим, что грань куба, являющаяся основанием пирамиды, находится в плоскости \(xy\), а куб сам расположен с ребрами, параллельными осям координат. Вершины одной из граней куба лежат на точках:

• \(A(0, 0, 0)\)
• \(B(1, 0, 0)\)
• \(C(1, 1, 0)\)
• \(D(0, 1, 0)\)

Соответственно, вершина пирамиды находится в центре противоположной грани куба. Так как куб является правильным многогранником, противоположная грань находится в плоскости \(z = 1\), а центр этой противоположной грани — точка \(S(0.5, 0.5, 1)\). Таким образом, основанием пирамиды является квадрат \(ABCD\), а вершина пирамиды — точка \(S(0.5, 0.5, 1)\).

2. Векторы боковых граней пирамиды:

Теперь найдем векторы, задающие боковые грани пирамиды. Это векторы от точек основания до вершины \(S(0.5, 0.5, 1)\).

• Вектор \(\overrightarrow{SA} = S - A = (0.5, 0.5, 1)\)
• Вектор \(\overrightarrow{SB} = S - B = (-0.5, 0.5, 1)\)

3. Угол между боковыми гранями:

Теперь можно найти скалярное произведение этих векторов. Для векторов \(\overrightarrow{SA} = (0.5, 0.5, 1)\) и \(\overrightarrow{SB} = (-0.5, 0.5, 1)\):

\[ \overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{SB} = (0.5 \cdot (-0.5)) + (0.5 \cdot 0.5) + (1 \cdot 1) = -0.25 + 0.25 + 1 = 1 \]

Теперь применим формулу скалярного произведения двух векторов:

\[ \overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{SB} = |\overrightarrow{SA}| \cdot |\overrightarrow{SB}| \cdot \cos \theta \]

Найдем длину каждого из векторов:

\[ |\overrightarrow{SA}| = \sqrt{(0.5)^2 + (0.5)^2 + 1^2} = \sqrt{0.25 + 0.25 + 1} = \sqrt{1.5} \]

\[ |\overrightarrow{SB}| = \sqrt{(-0.5)^2 + (0.5)^2 + 1^2} = \sqrt{0.25 + 0.25 + 1} = \sqrt{1.5} \]

Значит, у нас:

\[ 1 = \sqrt{1.5} \cdot \sqrt{1.5} \cdot \cos \theta \]

\[ 1 = 1.5 \cos \theta \]

\[ \cos \theta = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3} \]

Теперь найдем сам угол \(\theta\):

\[ \theta = \arccos \left(\frac{2}{3}\right) \]

Таким образом, угол между боковыми смежными гранями пирамиды приблизительно равен:

\[ \theta \approx 48.19^\circ \]

4. Угол наклона боковых граней к основанию:

Теперь найдем угол наклона каждой из боковых граней к основанию, например, для грани \(SA\). Для этого найдем угол между вектором \(\overrightarrow{SA} = (0.5, 0.5, 1)\) и вектором нормали к плоскости основания. Так как плоскость основания — это плоскость \(z = 0\), её нормаль направлена вдоль оси \(z\), то есть это вектор \( (0, 0, 1) \).

Найдем скалярное произведение \(\overrightarrow{SA}\) и нормали \((0, 0, 1)\):

\[ \overrightarrow{SA} \cdot (0, 0, 1) = 0.5 \cdot 0 + 0.5 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1 \]

Теперь найдем модуль вектора \(\overrightarrow{SA}\), который мы уже вычислили: это \(\sqrt{1.5}\), и модуль нормали — это просто 1. По формуле скалярного произведения:

\[ \overrightarrow{SA} \cdot (0, 0, 1) = |\overrightarrow{SA}| \cdot |(0, 0, 1)| \cdot \cos \phi \]

Получаем:

\[ 1 = \sqrt{1.5} \cdot 1 \cdot \cos \phi \]

Значит:

\[ \cos \phi = \frac{1}{\sqrt{1.5}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \]

Отсюда угол \(\phi\):

\[ \phi = \arccos \left( \frac{\sqrt{6}}{3} \right) \]

То есть угол наклона боковых граней к основанию приблизительно равен:

Ответ:

1. Угол между боковыми смежными гранями пирамиды: \(\theta \approx 48.19^\circ\).
2. Угол наклона боковых граней к основанию: \(\phi \approx 35.26^\circ\).

\[ \phi \approx 35.26^\circ \]