Найти центр тяжести однородной пластинки, ограниченной линиями

Предмет: Математика
Раздел: Аналитическая геометрия и интегральное исчисление

Найдем центр тяжести однородной пластинки, ограниченной кривыми y^2 = ax и y = x.

1. Определение границ области

Пересечение кривых найдем, решая уравнение:
y^2 = y \cdot a
y(y - a) = 0
Отсюда y = 0 или y = a.

Следовательно, область ограничена значениями y от 0 до a.

Из уравнения параболы выразим x:
x = \frac{y^2}{a}.
Таким образом, область ограничена кривыми x = \frac{y^2}{a} (слева) и x = y (справа).

2. Вычисление площади области

Площадь S определяется как интеграл разности правой и левой границы:
 S = \int_0^a (y - \frac{y^2}{a}) \, dy. 
Вычислим интеграл:
 S = \int_0^a y \, dy - \int_0^a \frac{y^2}{a} \, dy. 
Рассчитаем отдельно:
 \int_0^a y \, dy = \frac{y^2}{2} \Big|_0^a = \frac{a^2}{2}. 
 \int_0^a \frac{y^2}{a} \, dy = \frac{1}{a} \cdot \frac{y^3}{3} \Big|_0^a = \frac{a^2}{3}. 
Следовательно,
 S = \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{3} = \frac{a^2}{6}. 

3. Координаты центра тяжести

Координаты центра тяжести (\bar{x}, \bar{y}) определяются формулами:
 \bar{x} = \frac{1}{S} \int_0^a \int_{\frac{y^2}{a}}^y x \, dx \, dy, 
 \bar{y} = \frac{1}{S} \int_0^a \int_{\frac{y^2}{a}}^y y \, dx \, dy. 

3.1. Вычисление \bar{x}

Вычислим внутренний интеграл:
 \int_{\frac{y^2}{a}}^y x \, dx = \frac{x^2}{2} \Big|_{\frac{y^2}{a}}^y. 
Подставим пределы:
 \frac{y^2}{2} - \frac{(y^4 / a^2)}{2} = \frac{y^2}{2} - \frac{y^4}{2a^2}. 
Теперь вычисляем внешний интеграл:
 \int_0^a \left( \frac{y^2}{2} - \frac{y^4}{2a^2} \right) dy. 
Рассчитаем отдельно:
 \int_0^a \frac{y^2}{2} \, dy = \frac{1}{2} \cdot \frac{y^3}{3} \Big|_0^a = \frac{a^3}{6}. 
 \int_0^a \frac{y^4}{2a^2} \, dy = \frac{1}{2a^2} \cdot \frac{y^5}{5} \Big|_0^a = \frac{a^3}{10}. 
Следовательно,
 \int_0^a \int_{\frac{y^2}{a}}^y x \, dx \, dy = \frac{a^3}{6} - \frac{a^3}{10} = \frac{5a^3}{30} - \frac{3a^3}{30} = \frac{2a^3}{30} = \frac{a^3}{15}. 
Тогда
 \bar{x} = \frac{1}{S} \cdot \frac{a^3}{15} = \frac{6}{a^2} \cdot \frac{a^3}{15} = \frac{6a}{15} = \frac{2a}{5}. 

3.2. Вычисление \bar{y}

Внутренний интеграл:
 \int_{\frac{y^2}{a}}^y y \, dx = y \left( y - \frac{y^2}{a} \right) = y^2 - \frac{y^3}{a}. 
Внешний интеграл:
 \int_0^a (y^2 - \frac{y^3}{a}) \, dy. 
Рассчитаем отдельно:
 \int_0^a y^2 \, dy = \frac{y^3}{3} \Big|_0^a = \frac{a^3}{3}. 
 \int_0^a \frac{y^3}{a} \, dy = \frac{1}{a} \cdot \frac{y^4}{4} \Big|_0^a = \frac{a^3}{4}. 
Следовательно,
 \int_0^a \int_{\frac{y^2}{a}}^y y \, dx \, dy = \frac{a^3}{3} - \frac{a^3}{4} = \frac{4a^3}{12} - \frac{3a^3}{12} = \frac{a^3}{12}. 
Тогда
 \bar{y} = \frac{1}{S} \cdot \frac{a^3}{12} = \frac{6}{a^2} \cdot \frac{a^3}{12} = \frac{6a}{12} = \frac{a}{2}. 

4. Ответ

Координаты центра тяжести пластинки:
 \bar{x} = \frac{2a}{5}, \quad \bar{y} = \frac{a}{2}.