Найти точку, симметричную точке A(4,3, 3) относительно плоскости (1-0)x+ 2y+(4-6)z+4=0.

Данное задание относится к предмету "Аналитическая геометрия"

Оно включает в себя раздел, посвящённый нахождению точек, симметричных относительно плоскости.

Шаг 1: Упростим уравнение плоскости

Уравнение плоскости записано как \( (1-0)x + 2y + (4-6)z + 4 = 0 \), что можно упростить до: \[ x + 2y - 2z + 4 = 0 \]

Шаг 2: Определим нормальный вектор плоскости

Коэффициенты при \(x\), \(y\) и \(z\) в уравнении плоскости дают нам нормальный вектор: \[ \vec{n} = (1, 2, -2) \]

Шаг 3: Найдём проекцию точки \(A(4, 3, 3)\) на плоскость

Проекция точки \(A\) на плоскость находится с использованием параметрического уравнения прямой, проходящей через точку \(A\) и направленной вдоль нормального вектора \(\vec{n}\). Запишем параметрическое уравнение прямой: \[ \vec{r}(t) = (4, 3, 3) + t(1, 2, -2) = (4+t, 3+2t, 3-2t) \] Эта прямая должна пересекать плоскость \( x + 2y - 2z + 4 = 0 \). Подставим координаты прямой в уравнение плоскости: \[ (4 + t) + 2(3 + 2t) - 2(3 - 2t) + 4 = 0 \] Раскроем скобки и упростим уравнение: \[ 4 + t + 6 + 4t - 6 + 4t + 4 = 0 \] \[ 9t + 8 = 0 \] \[ t = -\frac{8}{9} \]

Шаг 4: Найдём координаты проекции точки \(A\) на плоскость

Подставим найденное значение параметра \(t = -\frac{8}{9}\) в параметры прямой: \[ (4 + t, 3 + 2t, 3 - 2t) = \left(4 - \frac{8}{9}, 3 + 2 \left(- \frac{8}{9}\right), 3 - 2 \left(- \frac{8}{9}\right)\right) \] \[ = \left(\frac{36}{9} - \frac{8}{9}, 3 - \frac{16}{9}, 3 + \frac{16}{9}\right) = \left(\frac{28}{9}, \frac{11}{9}, \frac{43}{9}\right) \]

Шаг 5: Найдём координаты симметричной точки \( A'\)

Проекция точки \( A \) на плоскость находится в середине отрезка \( A A'\), где \( A' \) — симметричная точка относительно плоскости. Используя координаты точек \( A(4, 3, 3) \) и \( P \left(\frac{28}{9}, \frac{11}{9}, \frac{43}{9}\right) \): Запишем координаты симметричной точки: \[ A' = 2P - A = \left(2 \left(\frac{28}{9}, \frac{11}{9}, \frac{43}{9}) - (4, 3, 3) \right) \] \[ = \left(\frac{56}{9}, \frac{22}{9}, \frac{86}{9}\right)\ - (4, 3, 3) \] \[ = \left(\frac{56}{9} - \frac{36}{9}, \frac{22}{9} - \frac{27}{9}, \frac{86}{9} - \frac{27}{9}\right) \] \[ = \left(\frac{20}{9}, -\frac{5}{9}, \frac{59}{9}\right) \] Таким образом, точка, симметричная точке \(A(4,3, 3)\) относительно плоскости \( x + 2y - 2z + 4 = 0 \) имеет координаты: \[ A'\left(\frac{20}{9}, -\frac{5}{9}, \frac{59}{9}\right) \]