Найти точку пересечения прямой и плоскости

Предмет: Математика

Раздел: Аналитическая геометрия

Теперь перейдем к решению задания.

Шаг 1: Параметрическое уравнение прямой

Прямая задана в параметрической форме: \( \frac{x-0}{6} = \frac{y+0}{-6} = \frac{z-2}{4} \)

Можно ввести параметр \( t \) такой, что: \( x = 6t, \quad y = -6t, \quad z = 4t + 2 \)

Шаг 2: Уравнение плоскости

Плоскость задана уравнением: \( x + 2y - (6-2)z + 1 = 0 \)

Упрощаем уравнение плоскости: \( x + 2y - 4z + 1 = 0 \)

Шаг 3: Подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости

Подставим \( x = 6t \), \( y = -6t \), \( z = 4t + 2 \) в уравнение плоскости: \( 6t + 2(-6t) - 4(4t + 2) + 1 = 0 \)

Решение: \( 6t - 12t - 16t - 8 + 1 = 0 \)

\( -22t - 7 = 0 \)

\( -22t = 7 \)

\( t = -\frac{7}{22} \)

Шаг 4: Найдем координаты точки пересечения

Теперь подставим найденное значение \( t \) в параметрические уравнения прямой: \( x = 6 \left(-\frac{7}{22}\right) = -\frac{42}{22} = -\frac{21}{11} \)

\( y = -6 \left(-\frac{7}{22}\right) = \frac{42}{22} = \frac{21}{11} \)

\( z = 4 \left(-\frac{7}{22}\right) + 2 = -\frac{28}{22} + 2 = -\frac{14}{11} + \frac{22}{11} = \frac{8}{11} \)

Итак, точка пересечения находится в координатах:

\( \left(-\frac{21}{11}, \frac{21}{11}, \frac{8}{11}\right) \)

Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости \( \left(-\frac{21}{11}, \frac{21}{11}, \frac{8}{11}\right) \).