Найти точку пересечения прямой AB с плоскостью 3x+y-2z=0

Это задача по аналитической геометрии. Нашей целью является найти точку пересечения прямой, проходящей через точки \( A(1,6,1) \) и \( B(2,7,2) \), с плоскостью, заданной уравнением \( 3x + y - 2z = 0 \). А затем мы должны найти сумму координат этой точки.

Шаг 1: Параметрическое уравнение прямой

Найдем параметрическое уравнение прямой, которая проходит через точки \( A(1, 6, 1) \) и \( B(2, 7, 2) \). Прямая AB задается уравнениями:

\[ x = 1 + t(2 - 1) = 1 + t, \]

\[ y = 6 + t(7 - 6) = 6 + t, \]

\[ z = 1 + t(2 - 1) = 1 + t, \]

где \( t \) — параметр.

Шаг 2: Подставим параметрическое уравнение в уравнение плоскости

Подставим выражения для \( x \), \( y \), \( z \) в уравнение плоскости \( 3x + y - 2z = 0 \):

\[ 3(1 + t) + (6 + t) - 2(1 + t) = 0. \]

Раскроем скобки:

\[ 3 + 3t + 6 + t - 2 - 2t = 0. \]

Приведем подобные члены:

\[ (3 + 6 - 2) + (3t + t - 2t) = 0, \]

\[ 7 + 2t = 0. \]

Найдем значение параметра \( t \):

\[ 2t = -7, \]

\[ t = -\frac{7}{2}. \]

Шаг 3: Найдем координаты точки пересечения

Теперь подставим значение \( t = -\frac{7}{2} \) в параметрические уравнения прямой:

\[ x = 1 + \left(-\frac{7}{2}\right) = 1 - \frac{7}{2} = \frac{-5}{2}, \]

\[ y = 6 + \left(-\frac{7}{2}\right) = 6 - \frac{7}{2} = \frac{12}{2} - \frac{7}{2} = \frac{5}{2}, \]

\[ z = 1 + \left(-\frac{7}{2}\right) = 1 - \frac{7}{2} = \frac{-5}{2}. \]

Шаг 4: Найдем сумму координат

Сумма координат точки пересечения:

\[ \frac{-5}{2} + \frac{5}{2} + \frac{-5}{2} = \frac{-5 + 5 - 5}{2} = \frac{-5}{2}. \]

\[ \boxed{-\frac{5}{2}}. \]

Ответ: