Найти точки пересечения графиков двух функций

Задание: Нам даны два уравнения:

1. \( y = 2x^2 \)
2. \( y = \frac{x}{2} \)

Нужно выяснить, что это за уравнения, к какой теме они относятся, а затем решить их.

Определение предмета и раздела:

Предмет: Математика
Раздел: Аналитическая геометрия или Функции и графики.

Этот раздел занимается исследованием графиков функций и их свойств.

Постановка задачи:

Так как у нас даны два уравнения с двумя переменными \(x\) и \(y\), предполагается, что нужно найти точки пересечения графиков этих двух функций, то есть решить систему уравнений:

\[ \begin{cases} y = 2x^2 \\ y = \frac{x}{2} \end{cases} \]

Решим эту систему уравнений.

Шаг 1: приравнивание выражений для \( y \)

Так как в обеих функциях \( y \) выражено через \( x \), можем приравнять правые части двух уравнений:

\[ 2x^2 = \frac{x}{2} \]

Шаг 2: умножение обеих частей на 2 для избавления от дроби

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе стороны уравнения на 2:

\[ 4x^2 = x \]

Шаг 3: приведение уравнения к стандартному виду

Переносим все члены уравнения в левую часть:

\[ 4x^2 - x = 0 \]

Шаг 4: вынесение общего множителя за скобки

Заметим, что в обоих слагаемых присутствует \( x \). Вынесем его за скобки:

\[ x(4x - 1) = 0 \]

Шаг 5: нахождение решений

Теперь у нас есть произведение двух множителей, и равенство возможно тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Решим:
1) \( x = 0 \)
2) \( 4x - 1 = 0 \)
Во втором уравнении решаем относительно \( x \):

\[ 4x = 1 \]
\[ x = \frac{1}{4} \]
Итак, \( x = 0 \) и \( x = \frac{1}{4} \).

Шаг 6: нахождение соответствующих значений \( y \)

Теперь найдём соответственно значения \( y \) для каждого из найденных \( x \). Подставим \( x = 0 \) и \( x = \frac{1}{4} \) в одно из исходных уравнений (лучше воспользоваться более простым уравнением \( y = \frac{x}{2} \)).

1) Для \( x = 0 \):
\[ y = \frac{0}{2} = 0 \]
2) Для \( x = \frac{1}{4} \):
\[ y = \frac{\frac{1}{4}}{2} = \frac{1}{8} \]

Шаг 7: ответ

Точки пересечения двух графиков:
\[ (0, 0) \text{ и } \left( \frac{1}{4}, \frac{1}{8} \right) \]

Истолкование результата:

Графики двух данных функций пересекаются в двух точках: в начале координат \( (0, 0) \) и в точке \(\left( \frac{1}{4}, \frac{1}{8} \).

Заключение:

Мы решили систему уравнений. Это тема по аналитической геометрии или графикам функций, связанная с нахождением точек пересечения двух графиков функций.