Найти точки пересечения графиков двух функций

Задание: Нам даны два уравнения:

1. $\text{(}y=2x^2\text{)}$
2. $\text{(}y=\frac{x}{2}\text{)}$

Нужно выяснить, что это за уравнения, к какой теме они относятся, а затем решить их.

Определение предмета и раздела:

Предмет: Математика
Раздел: Аналитическая геометрия или Функции и графики.

Этот раздел занимается исследованием графиков функций и их свойств.

Постановка задачи:

Так как у нас даны два уравнения с двумя переменными $\text{(}x\text{)}$ и $\text{(}y\text{)}$, предполагается, что нужно найти точки пересечения графиков этих двух функций, то есть решить систему уравнений:

$\text{[}\{\begin{array}{l}y=2x^2\\ y=\frac{x}{2}\end{array}\text{]}$

Решим эту систему уравнений.

Шаг 1: приравнивание выражений для $\text{(}y\text{)}$

Так как в обеих функциях $\text{(}y\text{)}$ выражено через $\text{(}x\text{)}$, можем приравнять правые части двух уравнений:

$\text{[}2x^2=\frac{x}{2}\text{]}$

Шаг 2: умножение обеих частей на 2 для избавления от дроби

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе стороны уравнения на 2:

$\text{[}4x^2=x\text{]}$

Шаг 3: приведение уравнения к стандартному виду

Переносим все члены уравнения в левую часть:

$\text{[}4x^2-x=0\text{]}$

Шаг 4: вынесение общего множителя за скобки

Заметим, что в обоих слагаемых присутствует $\text{(}x\text{)}$. Вынесем его за скобки:

$\text{[}x(4x-1)=0\text{]}$

Шаг 5: нахождение решений

Теперь у нас есть произведение двух множителей, и равенство возможно тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Решим:
1) $\text{(}x=0\text{)}$
2) $\text{(}4x-1=0\text{)}$
Во втором уравнении решаем относительно $\text{(}x\text{)}$:

$\text{[}4x=1\text{]}$
$\text{[}x=\frac{1}{4}\text{]}$
Итак, $\text{(}x=0\text{)}$ и $\text{(}x=\frac{1}{4}\text{)}$.

Шаг 6: нахождение соответствующих значений $\text{(}y\text{)}$

Теперь найдём соответственно значения $\text{(}y\text{)}$ для каждого из найденных $\text{(}x\text{)}$. Подставим $\text{(}x=0\text{)}$ и $\text{(}x=\frac{1}{4}\text{)}$ в одно из исходных уравнений (лучше воспользоваться более простым уравнением $\text{(}y=\frac{x}{2}\text{)}$).

1) Для $\text{(}x=0\text{)}$:
$\text{[}y=\frac{0}{2}=0\text{]}$
2) Для $\text{(}x=\frac{1}{4}\text{)}$:
$\text{[}y=\frac{\frac{1}{4}}{2}=\frac{1}{8}\text{]}$

Шаг 7: ответ

Точки пересечения двух графиков:
$\text{[}(0,0)\text{ и }(\frac{1}{4},\frac{1}{8})\text{]}$

Истолкование результата:

Графики двух данных функций пересекаются в двух точках: в начале координат $\text{(}(0,0)\text{)}$ и в точке $\text{Extra left or missing right}$.

Заключение:

Мы решили систему уравнений. Это тема по аналитической геометрии или графикам функций, связанная с нахождением точек пересечения двух графиков функций.