Найти тангенс угла A в треугольнике с вершинами

Предмет: Геометрия (Часть аналитической геометрии на плоскости)

Раздел: Исследование фигур на плоскости, через координаты точек

Задача: Найти тангенс угла A в треугольнике с вершинами A(4; 1), B(16; -8), C(14; 6).

План решения:

Чтобы найти тангенс угла \(A\), вспомним, что тангенс угла между двумя прямыми — это отношение изменения координат по оси y к изменению координат по оси x между двумя точками. Формула тангенса угла между двумя векторами на плоскости: \[ tg\theta = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right| \] где \(k_1\) и \(k_2\) — угловые коэффициенты прямых, проведённых через точку \(A\) к точкам \(B\) и \(C\).

Шаг 1: Определим угловые коэффициенты \(k_1\) и \(k_2\)

Прямые AB и AC можно задать как линейные функции с угловым коэффициентом, равным: \[ k_1 = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \] \[ k_2 = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} \]

Для прямой AB:

Точка \(A(4, 1)\), точка \(B(16, -8)\). \[ k_1 = \frac{-8 - 1}{16 - 4} = \frac{-9}{12} = -\frac{3}{4} \]

Для прямой AC:

Точка \(A(4, 1)\), точка \(C(14, 6)\). \[ k_2 = \frac{6 - 1}{14 - 4} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \]

Шаг 2: Найдем тангенс угла A

Подставим \(k_1\) и \(k_2\) в формулу для тангенса: \[ tg\angle A = \left| \frac{\frac{1}{2} - \left(-\frac{3}{4}\right)}{1 + \left(-\frac{3}{4}\right)\left(\frac{1}{2}\right)} \right| = \left| \frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{4}}{1 - \frac{3}{8}} \right| \]

Шаг 2.1: Приведем к общим знаменателям в числителе:

\[ tg\angle A = \left| \frac{\frac{2}{4} + \frac{3}{4}}{1 - \frac{3}{8}} \right| = \left| \frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{8}} \right| \]

Шаг 2.2: Упростим выражение:

\[ tg\angle A = \left| \frac{5}{4} \cdot \frac{8}{5} \right| = \left|2\right| = 2 \]

Ответ:

Тангенс угла A равен 2. \(tg\angle A = 2\).