Найти расстояние от вершины до прямой

Предмет: Геометрия (аналитическая геометрия)

Раздел: Геометрия на плоскости, расстояние от точки до прямой.

Задание: Найти расстояние от вершины \( C(3, 8) \) до прямой \( AB \), где \( A(4, -4) \) и \( B(8, 2) \).

Пояснение:

Для нахождения кратчайшего расстояния от точки \( C \) до прямой \( AB \), которая проходит через точки \( A(x_1, y_1) \) и \( B(x_2, y_2) \), существует следующая формула:

\[ d = \frac{|Ax_C + By_C + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}, \]

где \( A, B, C \) – коэффициенты уравнения прямой, проходящей через точки \( A \) и \( B \), а \( (x_C, y_C) \) – координаты точки \( C \).

1. Найдем уравнение прямой \( AB \) через две точки \( A(4, -4) \) и \( B(8, 2) \).

Прямая через две точки \( A(x_1, y_1) \) и \( B(x_2, y_2) \) записывается в виде

\[ A(x - x_1) = B(y - y_1), \]

где \( A = y_2 - y_1 \), а \( B = x_2 - x_1 \).

Для наших точек:

\[ A = 2 - (-4) = 6, \]
\[ B = 8 - 4 = 4. \]

Теперь можем записать уравнение прямой:

\[ 6(x - 4) = 4(y + 4). \]

Раскроем скобки:

\[ 6x - 24 = 4y + 16. \]

Приведем уравнение к стандартному виду:

\[ 6x - 4y - 40 = 0. \]

Это и есть уравнение прямой \( AB \), где \( A = 6 \), \( B = -4 \), и \( C = -40 \).

2. Подставим координаты точки \( C(3, 8) \) в формулу для нахождения расстояния:

\[ d = \frac{|6 \cdot 3 - 4 \cdot 8 - 40|}{\sqrt{6^2 + (-4)^2}}. \]

Посчитаем числитель:

\[ 6 \cdot 3 = 18, \quad -4 \cdot 8 = -32, \]
\[ 18 - 32 - 40 = -54. \]

Теперь модуль:

\[ |-54| = 54. \]

Посчитаем знаменатель:

\[ \sqrt{6^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}. \]

Теперь подставим обратно в формулу:

\[ d = \frac{54}{2\sqrt{13}} = \frac{27}{\sqrt{13}}. \]

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{13} \):

\[ d = \frac{27\sqrt{13}}{13}. \]

Таким образом, расстояние от точки \( C \) до прямой \( AB \) равно:

\[ d = \frac{27\sqrt{13}}{13}. \]

Это точный ответ.