Найти расстояние от точки до прямой, проходящей через точки, то есть до прямой, содержащей отрезок

Определение предмета и раздела

Данное задание относится к математике, а конкретнее, к разделу аналитической геометрии на плоскости.

Пояснение задания

Задано три вершины треугольника \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), \( C(x_3, y_3) \). А (4, -4), В (8, 2), C (3, 8). Задача состоит в том, чтобы найти расстояние от точки \( C(3,8) \) до прямой, проходящей через точки \( A(4,-4) \) и \( B(8,2) \), то есть до прямой, содержащей отрезок \( AB \).

Шаг 1: Найдем уравнение прямой AB

Прямая, проходящая через две точки, \( A(x_1, y_1) \) и \( B(x_2, y_2) \), может быть найдена с помощью формулы уравнения прямой через две точки:

\[ (y - y_1) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1) \]

Подставляем координаты точек \( A(4, -4) \) и \( B(8, 2) \):

\[ (y + 4) = \frac{2 - (-4)}{8 - 4}(x - 4) \]

\[ (y + 4) = \frac{6}{4}(x - 4) \]

\[ (y + 4) = 1.5(x - 4) \]

\[ y + 4 = 1.5x - 6 \]

\[ y = 1.5x - 10 \]

Теперь мы имеем уравнение прямой в виде \( y = 1.5x - 10 \).

Шаг 2: Переведем уравнение в общем виде прямой

Для удобства при дальнейшем расчете воспользуемся общим видом уравнения прямой: \( Ax + By + C = 0 \). Приведем уравнение \( y = 1.5x - 10 \) к этому виду:

\[ 1.5x - y - 10 = 0 \]

Значит, общее уравнение прямой получается:

\[ 1.5x - y - 10 = 0 \]

Шаг 3: Найдем расстояние от точки C до прямой

Чтобы найти расстояние от точки \( C(x_3, y_3) \) до прямой \( Ax + By + C = 0 \), используем формулу расстояния от точки до прямой:

\[ d = \frac{|Ax_3 + By_3 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

Подставляем \( A = 1.5 \), \( B = -1 \), \( C = -10 \), и \( C(3, 8) \):

\[ d = \frac{|1.5 \cdot 3 - 1 \cdot 8 - 10|}{\sqrt{1.5^2 + (-1)^2}} \]

\[ d = \frac{|4.5 - 8 - 10|}{\sqrt{2.25 + 1}} \]

\[ d = \frac{|-13.5|}{\sqrt{3.25}} \]

\[ d = \frac{13.5}{1.8028} \]

\[ d \approx 7.49 \]

Ответ

Расстояние от точки \( C \) до прямой \( AB \) приблизительно равно \( 7.49 \) единиц.