Найти расстояние от точки до плоскости, проходящей через три точки

Задание: Необходимо найти расстояние от точки \( D(-3;6;-8) \) до плоскости, проходящей через три точки \( A(5;2;0) \), \( B(2;5;0) \), \( C(1;2;4) \).

Шаг 1: Найдём уравнение плоскости, проходящей через точки \( A \), \( B \) и \( C \).

Для этого воспользуемся определением плоскости по трём точкам с координатами:

• \( A(5;2;0) \)
• \( B(2;5;0) \)
• \( C(1;2;4) \)

Чтобы составить уравнение плоскости, нам нужно найти нормальный вектор плоскости. Для этого вычислим два направляющих вектора, образованных соседними точками:

1. \( \overrightarrow{AB} = B - A = (2 - 5, 5 - 2, 0 - 0) = (-3, 3, 0) \)
2. \( \overrightarrow{AC} = C - A = (1 - 5, 2 - 2, 4 - 0) = (-4, 0, 4) \)

Теперь найдём векторное произведение этих двух векторов, так как оно будет нормальным к плоскости. Векторное произведение можно найти по следующему правилу:

\[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & 3 & 0 \\ -4 & 0 & 4 \end{vmatrix} \]

Раскроем определитель:

\[ \overrightarrow{n} = \mathbf{i}((3)(4) - (0)(0)) - \mathbf{j}((-3)(4) - (0)(-4)) + \mathbf{k}((-3)(0) - (3)(-4)) \]

\[ \overrightarrow{n} = \mathbf{i}(12) - \mathbf{j}(-12) + \mathbf{k}(12) \]

\[ \overrightarrow{n} = (12, 12, 12) \]

Нормальный вектор плоскости получился \( \overrightarrow{n} = (12, 12, 12) \).

Шаг 2: Уравнение плоскости

Уравнение плоскости имеет вид:

\[ Ax + By + Cz + D = 0 \]

Где \( (A, B, C) \) — это координаты нормального вектора \( \overrightarrow{n} \), то есть \( A = 12 \), \( B = 12 \), \( C = 12 \).

Теперь подставим координаты одной из точек, например, точки \( A(5, 2, 0) \), в уравнение плоскости для нахождения \( D \):

\[ 12(5) + 12(2) + 12(0) + D = 0 \]

\[ 60 + 24 + 0 + D = 0 \]

\[ D = -84 \]

Итак, уравнение плоскости:

\[ 12x + 12y + 12z - 84 = 0 \]

Или, после упрощения:

\[ x + y + z - 7 = 0 \]

Шаг 3: Расстояние от точки до плоскости

Формула для нахождения расстояния от точки \( D(x_1, y_1, z_1) \) до плоскости \( Ax + By + Cz + D = 0 \) записывается так:

\[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]

Подставим наши данные:

• Точка \( D(-3, 6, -8) \)
• Уравнение плоскости: \( x + y + z - 7 = 0\), значит \( A = 1 \), \( B = 1 \), \( C = 1 \), \( D = -7 \).

В числитель формулы подставляем координаты точки \( D(-3, 6, -8) \):

\[ (1)(-3) + (1)(6) + (1)(-8) - 7 = -3 + 6 - 8 - 7 = -12 \]

Теперь считаем модуль:

\[ |-12| = 12 \]

Знаменатель:

\[ \sqrt{(1)^2 + (1)^2 + (1)^2} = \sqrt{3} \]

Итак, расстояние \( d \):

Ответ: Расстояние от точки \( D(-3, 6, -8) \) до плоскости составляет \( 4\sqrt{3} \).

\[ d = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \]