Найти расстояние от точки D (-5;-4;8) до плоскости, проходящей через три точки

Предмет: Аналитическая геометрия
Раздел: Расстояние от точки до плоскости

Чтобы найти расстояние от точки ( D(-5, -4, 8) ) до плоскости, проходящей через три точки ( A(2, 3, 1) ), ( B(4, 1, -2) ), ( C(6, 3, 7) ), нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Уравнение плоскости через три точки

Уравнение плоскости имеет вид:
Ax + By + Cz + D = 0,
где A, B, C — коэффициенты, определяемые нормальным вектором плоскости, а D — свободный член.

1. Найдем векторы \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{AC}, которые лежат в плоскости:

   • \overrightarrow{AB} = (B_x - A_x, B_y - A_y, B_z - A_z) = (4 - 2, 1 - 3, -2 - 1) = (2, -2, -3),
   • \overrightarrow{AC} = (C_x - A_x, C_y - A_y, C_z - A_z) = (6 - 2, 3 - 3, 7 - 1) = (4, 0, 6).

2. Найдем векторное произведение \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}, которое даст нормальный вектор \mathbf{n} = (A, B, C): [ \mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 2 & -2 & -3 \ 4 & 0 & 6 \end{vmatrix} ] Раскроем детерминант: [ \mathbf{n} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} -2 & -3 \ 0 & 6 \end{vmatrix}

   • \mathbf{j} \begin{vmatrix} 2 & -3 \ 4 & 6 \end{vmatrix}
3. 
   
   • \mathbf{k} \begin{vmatrix} 2 & -2 \ 4 & 0 \end{vmatrix} ] [ \mathbf{n} = \mathbf{i}((-2)(6) - (0)(-3))
4. 
   
   • \mathbf{j}((2)(6) - (4)(-3))
5. 
   
   • \mathbf{k}((2)(0) - (4)(-2)) ] [ \mathbf{n} = \mathbf{i}(-12)
6. 
   
   • \mathbf{j}(12 + 12)
7. 
   
   • \mathbf{k}(0 + 8) ] [ \mathbf{n} = -12\mathbf{i} - 24\mathbf{j} + 8\mathbf{k} ] Таким образом, нормальный вектор: \mathbf{n} = (-12, -24, 8).

8. Подставим точку ( A(2, 3, 1) ) в уравнение плоскости, чтобы найти D. Уравнение плоскости: [ -12x - 24y + 8z + D = 0 ] Подставляем координаты точки ( A(2, 3, 1) ): [ -12(2) - 24(3) + 8(1) + D = 0 ] [ -24 - 72 + 8 + D = 0 ] [ D = 88 ] Таким образом, уравнение плоскости: [ -12x - 24y + 8z + 88 = 0 ]

Шаг 2: Расстояние от точки до плоскости

Формула расстояния от точки ( D(x_1, y_1, z_1) ) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0: [ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} ]

Подставляем значения:

• ( A = -12 ), ( B = -24 ), ( C = 8 ), ( D = 88 ),
• ( x_1 = -5 ), ( y_1 = -4 ), ( z_1 = 8 ).

1. Вычислим числитель: [ |-12(-5) - 24(-4) + 8(8) + 88| = |60 + 96 + 64 + 88| = |308| ]

2. Вычислим знаменатель: [ \sqrt{(-12)^2 + (-24)^2 + 8^2} = \sqrt{144 + 576 + 64} = \sqrt{784} = 28 ]

3. Найдем расстояние: [ d = \frac{308}{28} = 11 ]

Ответ:

Расстояние от точки ( D(-5, -4, 8) ) до плоскости равно 11.