Найти расстояние от точки D(-3;6;-8) до плоскости, проходящей через три точки A(5;2;0) B(2;5;0) C(1;2;4)

1. Определение предмета и раздела

Это задание относится к аналитической геометрии — разделу геометрии. Оно связано с определением расстояния от точки до плоскости в пространстве.

2. Постановка задачи

Даны:

• Точка \( D(-3; 6; -8) \)
• Три точки, через которые проходит плоскость:
  • \( A(5; 2; 0) \)
  • \( B(2; 5; 0) \)
  • \( C(1; 2; 4) \)

Задача: найти расстояние от точки \( D \) до плоскости, проходящей через точки \( A \), \( B \) и \( C \).

3. Пошаговое решение задачи

Шаг 1. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки \( A \), \( B \) и \( C \)

Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через три точки, нужно:

1. Найти направляющие векторы плоскости: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (2 - 5; 5 - 2; 0 - 0) = (-3; 3; 0) \] \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (1 - 5; 2 - 2; 4 - 0) = (-4; 0; 4) \]
2. Найти вектор нормали плоскости \( \vec{n} \), являющийся векторным произведением векторов \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \): \[ \vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & 3 & 0 \\ -4 & 0 & 4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(3 \cdot 4 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(-3 \cdot 4 - 0 \cdot (-4)) + \mathbf{k}(-3 \cdot 0 - 3 \cdot (-4)) \] \[ \vec{n} = \mathbf{i}(12) - \mathbf{j}(-12) + \mathbf{k}(12) = (12; 12; 12) \]
3. Уравнение плоскости имеет вид: \[ A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \] где \( (A, B, C) \) — это координаты вектора нормали (12; 12; 12), а \( (x_0, y_0, z_0) \) — координаты точки на плоскости (возьмем точку \( A(5; 2; 0) \)). Подставим: \[ 12(x - 5) + 12(y - 2) + 12(z - 0) = 0 \] Сократим на 12: \[ (x - 5) + (y - 2) + z = 0 \] Это уравнение плоскости имеет вид: \[ x + y + z - 7 = 0 \]

Шаг 2. Найти расстояние от точки \( D(-3; 6; -8) \) до плоскости \( x + y + z - 7 = 0 \)

Формула для нахождения расстояния от точки с координатами \( (x_1, y_1, z_1) \) до плоскости \( Ax + By + Cz + D = 0 \): \[ d = \frac{|A x_1 + B y_1 + C z_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] В нашем случае:

• \( A = 1 \), \( B = 1 \), \( C = 1 \), \( D = -7 \)
• Точка \( D(-3; 6; -8) \) имеет координаты \( x_1 = -3 \), \( y_1 = 6 \), \( z_1 = -8 \)

Подставим значения в формулу: \[ d = \frac{|1 \cdot (-3) + 1 \cdot 6 + 1 \cdot (-8) - 7|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|-3 + 6 - 8 - 7|}{\sqrt{3}} = \frac{| -12 |}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} \] Упростим: \[ d = \frac{12 \sqrt{3}}{3} = 4 \sqrt{3} \]

4. Ответ

Расстояние от точки \( D(-3; 6; -8) \) до плоскости, проходящей через точки \( A(5; 2; 0) \), \( B(2; 5; 0) \), и \( C(1; 2; 4) \), равно \( 4 \sqrt{3} \).