Найти расстояние между точками пересечения эллипса и прямой

Предмет: Математика

Раздел: Аналитическая геометрия

Задание: Найти расстояние между точками пересечения эллипса \( 5x^2 + 9y^2 = 81 \) и прямой \( 2x + 3y = 0 \).

Решение:

1. Подставим уравнение прямой в уравнение эллипса

Из уравнения прямой \( 2x + 3y = 0 \) выразим \( y \) через \( x \):

\[ y = -\frac{2}{3}x. \]

Подставим это выражение для \( y \) в уравнение эллипса \( 5x^2 + 9y^2 = 81 \):

\[ 5x^2 + 9\left(-\frac{2}{3}x\right)^2 = 81. \]

2. Упростим выражение

Рассчитаем \( \left(-\frac{2}{3}x\right)^2 \):

\[ \left(-\frac{2}{3}x\right)^2 = \frac{4}{9}x^2. \]

Подставляем:

\[ 5x^2 + 9 \cdot \frac{4}{9}x^2 = 81. \]

Упростим:

\[ 5x^2 + 4x^2 = 81. \]

Получаем:

\[ 9x^2 = 81. \]

3. Найдем \( x \)

\[ x^2 = \frac{81}{9} = 9, \quad x = \pm 3. \]

4. Найдем соответствующие \( y \)

При \( x = 3 \):

\[ y = -\frac{2}{3} \cdot 3 = -2. \]

При \( x = -3 \):

\[ y = -\frac{2}{3} \cdot (-3) = 2. \]

Точки пересечения:

\[ (3, -2) \quad \text{и} \quad (-3, 2). \]

5. Найдем расстояние между точками

Формула расстояния между точками:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}. \]

Подставляем координаты \( (3, -2) \) и \( (-3, 2) \):

\[ d = \sqrt{((-3) - 3)^2 + (2 - (-2))^2}. \]

Упростим:

\[ d = \sqrt{(-6)^2 + (4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}. \]

Упростим \( \sqrt{52} \):

\[ \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}. \]

Ответ:

Расстояние между точками пересечения \( 2\sqrt{13} \).