Найти проекцию C(8;1) на прямую, проходящую через точки A(1;12), C(3;6)

Предмет: Аналитическая геометрия

Задание: Найти проекцию точки на прямую.

Разберем решение данного задания подробно.

1. Уравнение прямой через две точки

У нас есть точки \( A(1; 12) \) и \( B(3; 6) \), через которые проходит прямая. Это позволяет нам найти уравнение прямой. Сначала найдем направление (угловой коэффициент) прямой, который можно вычислить по формуле:

\[ k = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{6 - 12}{3 - 1} = \frac{-6}{2} = -3. \]

Теперь можем записать уравнение прямой в виде:

\[ y - y_A = k(x - x_A), \]

\[ y - 12 = -3(x - 1). \]

Раскроем скобки:

\[ y - 12 = -3x + 3, \]

\[ y = -3x + 15. \]

Это уравнение прямой, которая проходит через точки \( A \) и \( B \).

2. Параметры для нахождения проекции

Теперь нам нужно найти проекцию точки \( C(8; 1) \) на эту прямую. Для этого нужно воспользоваться формулой для нахождения проекции точки на прямую:

1. Найдем общее уравнение прямой \( Ax + By + C = 0 \). Для данного уравнения \( y = -3x + 15 \), переведем его в стандартный вид:

\[ y + 3x - 15 = 0, \]

\[ 3x + y - 15 = 0. \]

Здесь коэффициенты принимают значения: \( A = 3 \), \( B = 1 \), \( C = -15 \).

2. Теперь воспользуемся формулой для нахождения проекции точки \( C(x_1; y_1) \) на прямую \( Ax + By + C = 0 \):

\[ x_p = \frac{x_1 - A \left(\frac{Ax_1 + By_1 + C}{A^2 + B^2}\right)}{1}, \]

\[ y_p = \frac{y_1 - B \left(\frac{Ax_1 + By_1 + C}{A^2 + B^2}\right)}{1}. \]

3. Находим координаты проекции

Подставляем координаты точки \( C(8; 1) \) и коэффициенты \( A = 3 \), \( B = 1 \), \( C = -15 \):

1. Сначала вычислим выражение \( Ax_1 + By_1 + C \):

\[ Ax_1 + By_1 + C = 3 \cdot 8 + 1 \cdot 1 - 15 = 24 + 1 - 15 = 10. \]

2. Теперь найдем координаты \( x_p \) и \( y_p \) проекции:

\[ x_p = 8 - 3 \cdot \frac{10}{3^2 + 1^2} = 8 - 3 \cdot \frac{10}{9 + 1} = 8 - 3 \cdot 1 = 8 - 3 = 5, \]

\[ y_p = 1 - 1 \cdot \frac{10}{3^2 + 1^2} = 1 - 1 \cdot \frac{10}{9 + 1} = 1 - 1 = 0. \]

4. Ответ

Проекция точки \( C(8; 1) \) на прямую — это точка с координатами \( (5; 0) \). Сумма координат этой точки: \( 5 + 0 = 5 \).

Ответ: 5.