Найти проекцию вектора

Предмет: Геометрия Раздел: Аналитическая геометрия в пространстве, векторы.

Задание:

Нужно найти проекцию вектора \( \sqrt{10} \cdot (2 \overrightarrow{AC} + 3 \overrightarrow{BC}) \) на вектор \( \overrightarrow{AB} - 2 \overrightarrow{CB} \), где точки заданы: \( A(1; 2; 1) \), \( B(-1; 3; 4) \), \( C(0; 1; 2) \).

Алгоритм решения:

1. Найдем вектора \( \overrightarrow{AC} \), \( \overrightarrow{BC} \), \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CB} \).
   • Вектор \( \overrightarrow{AC} = C - A = (0, 1, 2) - (1, 2, 1) = (-1, -1, 1) \)
   • Вектор \( \overrightarrow{BC} = C - B = (0, 1, 2) - (-1, 3, 4) = (1, -2, -2) \)
   • Вектор \( \overrightarrow{AB} = B - A = (-1, 3, 4) - (1, 2, 1) = (-2, 1, 3) \)
   • Вектор \( \overrightarrow{CB} = B - C = (-1, 3, 4) - (0, 1, 2) = (-1, 2, 2) \)
2. Найдем вектор \( 2 \overrightarrow{AC} + 3 \overrightarrow{BC} \).
   • \( 2 \overrightarrow{AC} = 2 \cdot (-1, -1, 1) = (-2, -2, 2) \)
   • \( 3 \overrightarrow{BC} = 3 \cdot (1, -2, -2) = (3, -6, -6) \)
   • Сложение: \( 2 \overrightarrow{AC} + 3 \overrightarrow{BC} = (-2, -2, 2) + (3, -6, -6) = (1, -8, -4) \)
3. Теперь умножим этот вектор на коэффициент \( \sqrt{10} \).
   • \( \sqrt{10} \cdot (1, -8, -4) = (\sqrt{10} \cdot 1, \sqrt{10} \cdot (-8), \sqrt{10} \cdot (-4)) = (\sqrt{10}, -8\sqrt{10}, -4\sqrt{10}) \)
4. Найдем вектор \( \overrightarrow{AB} - 2 \overrightarrow{CB} \).
   • \( 2 \overrightarrow{CB} = 2 \cdot (-1, 2, 2) = (-2, 4, 4) \)
   • Сложение: \( \overrightarrow{AB} - 2 \overrightarrow{CB} = (-2, 1, 3) - (-2, 4, 4) = (-2 + 2, 1 - 4, 3 - 4) = (0, -3, -1) \)
5. Найдем скалярное произведение векторов \( \overrightarrow{v_1} = (\sqrt{10}, -8\sqrt{10}, -4\sqrt{10}) \) и \( \overrightarrow{v_2} = (0, -3, -1) \).
   • Формула для скалярного произведения двух векторов: \( \overrightarrow{v_1} \cdot \overrightarrow{v_2} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 \)
   • \( (\sqrt{10}, -8\sqrt{10}, -4\sqrt{10}) \cdot (0, -3, -1) = \sqrt{10} \cdot 0 + (-8\sqrt{10}) \cdot (-3) + (-4\sqrt{10}) \cdot (-1) \)
   • \( 0 + 24\sqrt{10} + 4\sqrt{10} = 28\sqrt{10} \)
6. Найдем длину вектора \( \overrightarrow{v_2} = (0, -3, -1) \).
   • Длина вектора: \( |\overrightarrow{v_2}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 9 + 1} = \sqrt{10} \)
7. Теперь можем найти проекцию.
   • Формула для проекции вектора \( \overrightarrow{a} \) на вектор \( \overrightarrow{b} \): \( \text{proj}_{\overrightarrow{b}} \overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|} \)
   • Подставляем значения: Проекция = \( \frac{28\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = 28 \)

Ответ:

Проекция вектора \( \sqrt{10} (2 \overrightarrow{AC} + 3 \overrightarrow{BC}) \) на вектор \( \overrightarrow{AB} - 2 \overrightarrow{CB} \) равна 28.