Найти проекцию точки на плоскость

Предмет: Аналитическая геометрия

Раздел: Прямая, плоскость и точки в пространстве

Задача: Найти проекцию точки \( P(-2; 11; 7) \) на плоскость \( -x + 2y + z - 1 = 0 \).

Подход к решению:

1. Уравнение плоскости: Плоскость задана уравнением \( -x + 2y + z - 1 = 0 \). Мы можем записать это уравнение в виде: \[-x + 2y + z = 1 \] Вектор нормали к плоскости — это вектор, перпендикулярный плоскости. Коэффициенты при \( x, y \) и \( z \) из уравнения плоскости дают нормальный вектор: \[\mathbf{n} = (-1, 2, 1) \]
2. Прямая, по которой будем проектировать: Проекция точки на плоскость означает, что мы опускаем перпендикуляр к плоскости. Прямая, содержащая перпендикуляр, проходит через точку \( P(-2; 11; 7) \) и направлена вдоль вектора \(\mathbf{n} = (-1, 2, 1) \). Уравнение такой прямой можно записать в параметрическом виде: \[ x = -2 + \lambda (-1), \quad y = 11 + \lambda (2), \quad z = 7 + \lambda (1) \] где \( \lambda \) — параметр.
3. Найдем точку пересечения с плоскостью: Теперь подставляем параметрические выражения для \( x \), \( y \) и \( z \) в уравнение плоскости: \[-(x) + 2(y) + z = 1 \] Подставляем значения параметрических уравнений: \[ -(-2 + \lambda (-1)) + 2(11 + \lambda (2)) + (7 + \lambda (1)) = 1 \] Упростим: \[ 2 - \lambda + 22 + 4\lambda + 7 + \lambda = 1 \] \[ 31 + 4\lambda = 1 \] \[ 4\lambda = 1 - 31 \] \[ 4\lambda = -30 \] \[ \lambda = -\frac{30}{4} = -7.5 \]
4. Найдем координаты проекции: Подставим значение \( \lambda = -7.5 \) в уравнения прямой: \[ x = -2 + (-7.5)(-1) = -2 + 7.5 = 5.5 \] \[ y = 11 + (-7.5)(2) = 11 - 15 = -4 \] \[ z = 7 + (-7.5)(1) = 7 - 7.5 = -0.5 \] Таким образом, проекция точки\( P(-2; 11; 7) \) на плоскость \( -x + 2y + z - 1 = 0 \) имеет координаты: \[ P' = (5.5, -4, -0.5) \]

Ответ: Проекция точки \( P(-2; 11; 7) \) на плоскость \( -x + 2y + z - 1 = 0 \) равна \( P'(5.5, -4, -0.5) \).